cứu toii:)))))

Để chứng minh rằng tồn tại \( x \in \mathbb{R} \) sao cho \( 2x^2 + 3x - 5 > 0 \), ta sẽ làm như sau: Bước 1: Xét dấu của biểu thức \( 2x^2 + 3x - 5 \). Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình \( 2x^2 + 3x - 5 = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó: \[ a = 2, \quad b = 3, \quad c = -5 \] Tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \] Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \] Bước 3: Xét dấu của biểu thức \( 2x^2 + 3x - 5 \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \). - Khoảng \( (-\infty, -\frac{5}{2}) \) - Khoảng \( (-\frac{5}{2}, 1) \) - Khoảng \( (1, \infty) \) Chọn một giá trị trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của biểu thức: 1. Chọn \( x = -3 \) thuộc khoảng \( (-\infty, -\frac{5}{2}) \): \[ 2(-3)^2 + 3(-3) - 5 = 2 \cdot 9 - 9 - 5 = 18 - 9 - 5 = 4 > 0 \] 2. Chọn \( x = 0 \) thuộc khoảng \( (-\frac{5}{2}, 1) \): \[ 2(0)^2 + 3(0) - 5 = -5 < 0 \] 3. Chọn \( x = 2 \) thuộc khoảng \( (1, \infty) \): \[ 2(2)^2 + 3(2) - 5 = 2 \cdot 4 + 6 - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 \] Như vậy, biểu thức \( 2x^2 + 3x - 5 \) nhận giá trị dương trong các khoảng \( (-\infty, -\frac{5}{2}) \) và \( (1, \infty) \). Do đó, tồn tại \( x \in \mathbb{R} \) sao cho \( 2x^2 + 3x - 5 > 0 \). Ví dụ, \( x = 1 \) hoặc \( x = 2 \) đều thỏa mãn điều kiện này. Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{\text{Tồn tại } x \in \mathbb{R} \text{ sao cho } 2x^2 + 3x - 5 > 0} \] Câu 12: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết: A. \( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 - x + 1 > 0 \) Xét biểu thức \( x^2 - x + 1 \). Ta có thể viết lại nó dưới dạng: \[ x^2 - x + 1 = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \( \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên: \[ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \] Do đó, \( x^2 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Vậy mệnh đề A đúng. B. \( \exists n \in \mathbb{N}, n < 0 \) Tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \) bao gồm các số nguyên dương và 0. Do đó, không tồn tại số tự nhiên nào nhỏ hơn 0. Vậy mệnh đề B sai. C. \( \exists n \in \mathbb{Q}, n^2 = 2 \) Giả sử tồn tại số hữu tỉ \( n = \frac{p}{q} \) (với \( p, q \in \mathbb{Z} \) và \( q \neq 0 \)) sao cho \( n^2 = 2 \). Ta có: \[ \left( \frac{p}{q} \right)^2 = 2 \] \[ \frac{p^2}{q^2} = 2 \] \[ p^2 = 2q^2 \] Điều này có nghĩa là \( p^2 \) chia hết cho 2, suy ra \( p \) cũng chia hết cho 2. Đặt \( p = 2k \) (với \( k \in \mathbb{Z} \)), ta có: \[ (2k)^2 = 2q^2 \] \[ 4k^2 = 2q^2 \] \[ 2k^2 = q^2 \] Điều này có nghĩa là \( q^2 \) chia hết cho 2, suy ra \( q \) cũng chia hết cho 2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng \( p \) và \( q \) không cùng chia hết cho 2 (do \( \frac{p}{q} \) là phân số tối giản). Vậy không tồn tại số hữu tỉ \( n \) sao cho \( n^2 = 2 \). Vậy mệnh đề C sai. D. \( \forall x \in \mathbb{Z}, \frac{1}{x} > 0 \) Tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \) bao gồm cả số nguyên âm, số nguyên dương và 0. Nếu \( x \) là số nguyên âm, thì \( \frac{1}{x} \) sẽ là số âm. Nếu \( x = 0 \), thì \( \frac{1}{x} \) không xác định. Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. Đáp án: \( \boxed{A} \)