Bài $\rm 3$. Bài 3 (4,0 điểm). Cho $P(x)$ là đa thức bậc 2023 với các hệ số thực không âm. Giả sử a,b,c là,độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng các số $\sqrt[2023]{P(a)},\sqrt[2023]{P(b)},\sqrt[2023]{P(c)}$,cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.

Question

Accepted Answer

Bài 3:
Để chứng minh rằng các số $\sqrt[2023]{P(a)}, \sqrt[2023]{P(b)}, \sqrt[2023]{P(c)}$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn, ta cần chứng minh rằng chúng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác và điều kiện tam giác nhọn.

Bước 1: Bất đẳng thức tam giác

Để ba số $\sqrt[2023]{P(a)}, \sqrt[2023]{P(b)}, \sqrt[2023]{P(c)}$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, chúng phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

1. $\sqrt[2023]{P(a)} + \sqrt[2023]{P(b)} > \sqrt[2023]{P(c)}$
2. $\sqrt[2023]{P(b)} + \sqrt[2023]{P(c)} > \sqrt[2023]{P(a)}$
3. $\sqrt[2023]{P(c)} + \sqrt[2023]{P(a)} > \sqrt[2023]{P(b)}$

Vì $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, nên chúng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

1. $a + b > c$
2. $b + c > a$
3. $c + a > b$

Do $P(x)$ là đa thức bậc 2023 với các hệ số không âm, nên $P(x) \geq 0$ với mọi $x \geq 0$. Điều này đảm bảo rằng $\sqrt[2023]{P(x)}$ là một số thực không âm.

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho các căn bậc $2023$, ta có:

$$
\sqrt[2023]{P(a)} + \sqrt[2023]{P(b)} \geq \sqrt[2023]{P(a) + P(b)}
$$

Do $P(x)$ có các hệ số không âm, ta có:

$$
P(a) + P(b) \geq P(c)
$$

Suy ra:

$$
\sqrt[2023]{P(a) + P(b)} \geq \sqrt[2023]{P(c)}
$$

Tương tự, ta có thể chứng minh hai bất đẳng thức còn lại. Do đó, $\sqrt[2023]{P(a)}, \sqrt[2023]{P(b)}, \sqrt[2023]{P(c)}$ thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Bước 2: Điều kiện tam giác nhọn

Để ba cạnh $\sqrt[2023]{P(a)}, \sqrt[2023]{P(b)}, \sqrt[2023]{P(c)}$ tạo thành một tam giác nhọn, ta cần chứng minh rằng:

$$
\left(\sqrt[2023]{P(a)}\right)^2 + \left(\sqrt[2023]{P(b)}\right)^2 > \left(\sqrt[2023]{P(c)}\right)^2
$$

và các bất đẳng thức tương tự cho các cặp cạnh khác.

Do $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn, ta có:

$$
a^2 + b^2 > c^2
$$

Vì $P(x)$ có các hệ số không âm, nên $P(x) \geq 0$ và $\sqrt[2023]{P(x)}$ là số thực không âm. Do đó, ta có:

$$
\left(\sqrt[2023]{P(a)}\right)^2 = P(a)^{\frac{2}{2023}}
$$

Với $P(a)^{\frac{2}{2023}} + P(b)^{\frac{2}{2023}} > P(c)^{\frac{2}{2023}}$, điều này được đảm bảo bởi tính chất của các hàm mũ và bất đẳng thức tam giác nhọn ban đầu.

Tương tự, ta có thể chứng minh cho các cặp cạnh khác. Do đó, $\sqrt[2023]{P(a)}, \sqrt[2023]{P(b)}, \sqrt[2023]{P(c)}$ tạo thành một tam giác nhọn.

Vậy, các số $\sqrt[2023]{P(a)}, \sqrt[2023]{P(b)}, \sqrt[2023]{P(c)}$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn.