Giải hộ mình câu này với các bạn

Cho hệ hai điện tích điểm \( q_1 \) và \( q_2 \), đường sức điện xuất phát từ \( q_1 \) và kết thúc tại \( q_2 \). Đường sức này hợp với đường nối hai điện tích các góc \(\alpha_1 = 30^\circ\) tại \( q_1 \) và \(\alpha_2 = 60^\circ \) tại \( q_2 \). **Mục tiêu:** Tính tỉ số \(\frac{q_1}{q_2}\). --- ### Phân tích và giải: 1. **Đặc điểm đường sức điện:** - Đường sức điện là đường tiếp tuyến với vectơ cường độ điện trường \(\vec{E}\) tại mỗi điểm. - Tại vị trí gần \( q_1 \), góc giữa đường nối hai điện tích (tức là đường thẳng từ \( q_1 \) đến \( q_2 \)) và tiếp tuyến đường sức là \(\alpha_1 = 30^\circ\). - Tại vị trí gần \( q_2 \), góc tương tự là \(\alpha_2 = 60^\circ\). 2. **Phương pháp giải:** Gọi \( r \) là khoảng cách giữa hai điện tích. Gọi \( P \) là điểm nằm trên đường sức nối \( q_1 \) đến \( q_2 \), gần \( q_1 \) thì góc tạo bởi vectơ tổng \(\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}\) với đường nối hai điện tích là \(\alpha_1\), gần \( q_2 \) góc là \(\alpha_2\). - Ở gần \( q_1 \), điện trường do \( q_1 \) rất lớn so với \( q_2 \), nên: \[ \tan \alpha_1 = \frac{E_2 \text{ thành phần vuông góc}}{E_1 \text{ thành phần dọc}} = \frac{E_2 \sin 180^\circ}{E_1 + E_2 \cos 180^\circ} = \frac{0}{E_1 - E_2} = 0 \] Mà ở đây góc là 30°, nên ta cần cách phân tích khác. Cách tiếp cận chính xác là: - Tại điểm trên đường sức gần \( q_1 \), tổng điện trường \(\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}\). - Điện trường do một điện tích điểm: \[ E = k \frac{|q|}{r^2} \] và vectơ hướng ra xa điện tích dương, vào trong điện tích âm. 3. **Biểu diễn các vectơ điện trường:** Gọi \( E_1 \) là điện trường do \( q_1 \) tại một điểm trên đường sức, hướng ra từ \( q_1 \) nếu \( q_1 > 0 \). Gọi \( E_2 \) là điện trường do \( q_2 \) tại điểm đó. Tại gần \( q_1 \), vectơ điện trường tổng có hướng tạo góc \(\alpha_1\) với đường nối \( q_1 q_2 \). Tương tự, tại gần \( q_2 \), góc tạo thành là \(\alpha_2\). 4. **Áp dụng định luật cộng vectơ điện trường:** Tại gần \( q_1 \), điện trường do \( q_1 \) rất lớn, hướng dọc theo đường nối hai điện tích. Điện trường do \( q_2 \) tại vị trí gần \( q_1 \) có độ lớn: \[ E_2 = k \frac{|q_2|}{r^2} \] hướng từ \( q_1 \) đến \( q_2 \) hoặc ngược lại, tuỳ dấu điện tích. Giả sử \( q_1 > 0 \) và \( q_2 < 0 \), vì đường sức điện xuất phát từ \( q_1 \) và kết thúc tại \( q_2 \). Tại \( q_1 \), \(\vec{E}_1\) rất lớn, hướng ra xa khỏi \( q_1 \). \(\vec{E}_2\) do điện tích âm ở \( q_2 \) sẽ hướng về phía \( q_2 \), tức ngược chiều với đường nối. Ta gọi: \[ E_1 = k \frac{q_1}{r_1^2}, \quad E_2 = k \frac{|q_2|}{(r - r_1)^2} \] với \( r_1 \to 0 \) (gần \( q_1 \)), nên \( E_1 \to \infty \), \( E_2 \) hữu hạn. Góc \(\alpha_1\) giữa tổng vectơ điện trường \(\vec{E}\) và đường nối được xác định bằng: \[ \tan \alpha_1 = \frac{E_2 \sin \theta}{E_1 + E_2 \cos \theta} \] Ở gần \( q_1 \), \(\theta = 180^\circ\) vì điện trường \( E_2 \) ngược chiều đường nối. \[ \tan \alpha_1 = \frac{E_2 \sin 180^\circ}{E_1 - E_2 \cos 0^\circ} = 0 \] Điều này mâu thuẫn với dữ kiện \(\alpha_1 = 30^\circ\). Như vậy, phải xét điểm trên đường sức, không tại đúng vị trí điện tích. 5. **Cách giải khác:** Theo bài, đường sức xuất phát từ \( q_1 \) và kết thúc tại \( q_2 \), tại điểm trên đường sức tạo góc \(\alpha_1\) với đường nối gần \( q_1 \), \(\alpha_2\) gần \( q_2 \). Dùng công thức: \[ \frac{q_1}{q_2} = - \frac{\tan \alpha_2}{\tan \alpha_1} \] *Lý do:* - Tại mỗi điểm, cường độ điện trường tổng \(\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\). - Góc giữa \(\vec{E}\) và đường nối là \(\alpha\). - Vectơ điện trường do mỗi điện tích có hướng dọc theo đường nối, nên các thành phần vuông góc tỷ lệ với \( \tan \alpha \). - Định hướng và tỉ lệ các vectơ tạo ra công thức trên. Thay số: \[ \frac{q_1}{q_2} = - \frac{\tan 60^\circ}{\tan 30^\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = - 3 \] Dấu trừ biểu thị \( q_1 \) và \( q_2 \) khác dấu, đúng với giả thiết đường sức đi từ \( q_1 \) đến \( q_2 \). --- ### Kết luận: \[ \boxed{ \frac{q_1}{q_2} = -3 } \] Nghĩa là: - Hai điện tích trái dấu nhau, - Điện tích \( q_1 \) có độ lớn gấp 3 lần \( q_2 \), nhưng dấu ngược. --- **Vậy tỉ số \(\frac{q_1}{q_2} = -3\).**