giải giúp mình

Câu 48: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các định lý lượng giác và công thức tính diện tích tam giác. Bài toán 1: Cho tam giác $\Delta ABC$ với $b = 7$, $c = 5$, và $\cos A = \frac{3}{5}$. Chúng ta cần tìm độ dài đường cao $h_a$. 1. Tính độ dài cạnh $a$ sử dụng định lý cos: Định lý cos cho tam giác $\Delta ABC$ là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \frac{3}{5} \] \[ a^2 = 49 + 25 - 42 = 32 \] \[ a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 2. Tính diện tích tam giác $S$: Diện tích tam giác có thể tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2}bc \sin A \] Trước tiên, tính $\sin A$ từ $\cos A = \frac{3}{5}$: \[ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Thay vào công thức diện tích: \[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{4}{5} = 14 \] 3. Tính độ dài đường cao $h_a$: Đường cao $h_a$ được tính bằng công thức: \[ h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 14}{4\sqrt{2}} = \frac{28}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \] Vậy độ dài đường cao $h_a$ là $\frac{7\sqrt{2}}{2}$. Đáp án đúng là A. Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ với $AB = 2a$, $AC = 4a$, và $\angle BAC = 120^\circ$. Tính diện tích tam giác $ABC$. 1. Tính diện tích tam giác $S$: Sử dụng công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \angle BAC \] Với $\angle BAC = 120^\circ$, ta có $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times 2a \times 4a \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 8a^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2a^2\sqrt{3} \] Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $2a^2\sqrt{3}$. Đáp án đúng là B. Câu 50: Để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(a\), ta cần sử dụng công thức liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều. Trong tam giác đều, bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) được tính bằng công thức: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Tuy nhiên, để dễ dàng hơn trong việc so sánh với các đáp án đã cho, ta có thể biến đổi công thức trên như sau: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\frac{a\sqrt{3}}{3}} \] Câu 51: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức liên quan đến bán kính đường tròn nội tiếp và diện tích của tam giác. Cho tam giác \( ABC \) có chu vi \( P = 12 \) và bán kính đường tròn nội tiếp \( r = 1 \). Diện tích \( S \) của tam giác có thể được tính bằng công thức: \[ S = r \times \frac{P}{2} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ S = 1 \times \frac{12}{2} = 1 \times 6 = 6 \] Vậy diện tích của tam giác \( ABC \) là 6. Do đó, đáp án đúng là C. 6. Câu 52: Để tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \( ABC \) có cạnh \( 2a \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài đường cao của tam giác đều: Trong tam giác đều, đường cao cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Gọi \( AD \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \). Ta có: \[ AD = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left(a\right)^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] 2. Tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp: Trong tam giác đều, bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp được tính bằng công thức: \[ R = \frac{2}{3} \times \text{độ dài đường cao} \] Thay giá trị của \( AD \) vào, ta có: \[ R = \frac{2}{3} \times a\sqrt{3} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] 3. Chọn đáp án đúng: Đáp án đúng là \( A.~\frac{2a}{\sqrt{3}} \). Vậy, bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \( ABC \) là \(\frac{2a}{\sqrt{3}}\). Câu 53: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của hai tam giác đã cho. Phần 1: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cho tam giác ABC có \( BC = \sqrt{6} \), \( AC = 2 \), và \( AB = \sqrt{3} + 1 \). Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta sử dụng công thức: \[ R = \frac{abc}{4S} \] trong đó \( a, b, c \) là độ dài các cạnh của tam giác và \( S \) là diện tích tam giác. Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác: - Nửa chu vi \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1 + 2 + \sqrt{6}}{2} \). - Diện tích \( S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} \). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác với góc giữa hai cạnh: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \angle BAC \] Để tìm \(\sin \angle BAC\), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm \(\cos \angle BAC\): \[ \cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC} \] Tính toán: - \( AB^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \) - \( AC^2 = 4 \) - \( BC^2 = 6 \) \[ \cos \angle BAC = \frac{(4 + 2\sqrt{3}) + 4 - 6}{2 \times (\sqrt{3} + 1) \times 2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4(\sqrt{3} + 1)} \] Tính \(\sin \angle BAC\) từ \(\cos \angle BAC\) và sử dụng công thức diện tích để tìm \( S \). Bước 2: Tính bán kính \( R \) Sau khi có \( S \), áp dụng công thức: \[ R = \frac{(\sqrt{6}) \times 2 \times (\sqrt{3} + 1)}{4S} \] Tính toán cụ thể để tìm \( R \). Phần 2: Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho tam giác ABC có \( AB = 3 \), \( AC = 4 \), \( BC = 5 \). Đây là tam giác vuông với \( BC \) là cạnh huyền. Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC Diện tích \( S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \). Bước 2: Tính bán kính đường tròn nội tiếp Bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) được tính bằng công thức: \[ r = \frac{S}{p} \] trong đó \( p \) là nửa chu vi của tam giác: \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 \] Vậy: \[ r = \frac{6}{6} = 1 \] Kết luận: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 1. Câu 54: Để tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta có thể sử dụng công thức: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Trong đó: - \( a = 13 \), \( b = 14 \), \( c = 15 \) là độ dài các cạnh của tam giác. - \( S = 84 \) là diện tích của tam giác. Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức: \[ R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} \] Tính tử số: \[ 13 \times 14 = 182 \] \[ 182 \times 15 = 2730 \] Tính mẫu số: \[ 4 \times 84 = 336 \] Do đó: \[ R = \frac{2730}{336} \] Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho 6: \[ \frac{2730 \div 6}{336 \div 6} = \frac{455}{56} \] Chia tiếp cả tử và mẫu cho 7: \[ \frac{455 \div 7}{56 \div 7} = \frac{65}{8} \] Vậy, độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) của tam giác là: \[ R = \frac{65}{8} \] Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn đã cho. Có thể có sai sót trong việc tính toán hoặc đề bài. Hãy kiểm tra lại các bước tính toán hoặc thông tin đề bài. Câu 55: Để tìm độ dài bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) của tam giác, ta có thể sử dụng công thức liên quan đến diện tích \( S \) và nửa chu vi \( p \) của tam giác: \[ r = \frac{S}{p} \] Trong bài toán này, ta có: - Diện tích \( S = 10\sqrt{3} \) - Nửa chu vi \( p = 10 \) Áp dụng công thức trên, ta tính được: \[ r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3} \] Vậy độ dài bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) của tam giác là \( \sqrt{3} \). Câu 56: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu và thông tin đã cho. Tuy nhiên, thông tin trong đề bài có vẻ chưa đầy đủ hoặc không rõ ràng. Tôi sẽ giả định rằng bạn đang muốn tìm độ dài của một cạnh hoặc một góc trong tam giác $\Delta ABC$ với một số điều kiện nhất định. Giả sử chúng ta có một tam giác $\Delta ABC$ và cần tìm độ dài của một cạnh hoặc một góc dựa trên các thông tin đã cho. Dưới đây là cách tiếp cận chung để giải quyết bài toán liên quan đến tam giác: 1. Xác định thông tin đã cho: - Nếu đề bài cho biết độ dài của các cạnh hoặc góc, hãy ghi chú lại. - Nếu có thông tin về góc vuông, góc nhọn, hoặc góc tù, hãy sử dụng các định lý lượng giác phù hợp. 2. Sử dụng định lý lượng giác: - Nếu tam giác vuông, có thể sử dụng định lý Pythagore: $a^2 + b^2 = c^2$ (với $c$ là cạnh huyền). - Sử dụng các tỉ số lượng giác như sin, cos, tan nếu cần thiết. 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Đảm bảo rằng các giá trị tính toán không vi phạm điều kiện của tam giác (ví dụ: tổng hai cạnh phải lớn hơn cạnh còn lại). 4. Tính toán và kết luận: - Thực hiện các phép tính cần thiết để tìm ra giá trị cần tìm. - Đưa ra kết luận rõ ràng về giá trị của cạnh hoặc góc. Do đề bài không rõ ràng, tôi khuyến khích bạn cung cấp thêm thông tin hoặc điều kiện cụ thể để tôi có thể giúp bạn giải quyết bài toán một cách chính xác hơn. Câu 57: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác. Phần 1: Tính bán kính đường tròn nội tiếp Cho tam giác có ba cạnh là \( a = 26 \), \( b = 28 \), \( c = 30 \). 1. Tính nửa chu vi \( p \): \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{26 + 28 + 30}{2} = 42 \] 2. Tính diện tích \( S \) của tam giác bằng công thức Heron: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] \[ S = \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} = \sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12} \] \[ S = \sqrt{112896} = 336 \] 3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp \( r \): \[ r = \frac{S}{p} = \frac{336}{42} = 8 \] Vậy bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là 8. Phần 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp Cho tam giác có ba cạnh là \( a = 52 \), \( b = 56 \), \( c = 60 \). 1. Tính diện tích \( S \) của tam giác bằng công thức Heron: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{52 + 56 + 60}{2} = 84 \] \[ S = \sqrt{84(84-52)(84-56)(84-60)} \] \[ S = \sqrt{84 \times 32 \times 28 \times 24} \] \[ S = \sqrt{1806336} = 1344 \] 2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \): \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{52 \times 56 \times 60}{4 \times 1344} \] \[ R = \frac{174720}{5376} = 32.5 \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là 32.5. Kết luận: - Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác có ba cạnh 26, 28, 30 là 8. - Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác có ba cạnh 52, 56, 60 là 32.5. Câu 58: Để tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác có ba cạnh là 5, 12 và 13, ta cần kiểm tra xem tam giác này có phải là tam giác vuông hay không. Ta có ba cạnh của tam giác là 5, 12 và 13. Ta kiểm tra điều kiện của tam giác vuông bằng định lý Pythagore: - Tính tổng bình phương của hai cạnh ngắn hơn: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). - Tính bình phương của cạnh dài nhất: \(13^2 = 169\). Vì \(5^2 + 12^2 = 13^2\), tam giác này là tam giác vuông với cạnh huyền là 13. Trong tam giác vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa độ dài cạnh huyền. Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) là: \[ R = \frac{13}{2} = 6.5. \] Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là \(6.5\). Câu 59: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết rằng tổng của ba số chẵn liên tiếp có thể được biểu diễn dưới dạng sau: Giả sử ba số chẵn liên tiếp là \(x-2\), \(x\), và \(x+2\). Tổng của ba số này là: \[ (x-2) + x + (x+2) \] Chúng ta sẽ cộng các số lại: \[ (x-2) + x + (x+2) = x - 2 + x + x + 2 = 3x \] Theo đề bài, tổng của ba số chẵn liên tiếp này là 18: \[ 3x = 18 \] Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(x\): \[ x = \frac{18}{3} = 6 \] Vậy ba số chẵn liên tiếp là: \[ x-2 = 6-2 = 4 \] \[ x = 6 \] \[ x+2 = 6+2 = 8 \] Ba số chẵn liên tiếp là 4, 6, và 8. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A. 6} \]