Bạn Hà xin bố một mảnh vườn nhỏ trong khu đất sau nhà để trồng hoa. Bố đã đồng ý, nhưng yêu cầu mảnh vườn phải có dạng hình chữ nhật, chung một cạnh với bức tường sau nhà và có thể được bao quanh bởi m...

Để tìm diện tích lớn nhất của mảnh vườn hình chữ nhật, ta cần xác định các kích thước của mảnh vườn sao cho diện tích đạt giá trị lớn nhất, với điều kiện chu vi của mảnh vườn không vượt quá 6 m. Gọi chiều dài của mảnh vườn là \( x \) (m) và chiều rộng là \( y \) (m). Vì mảnh vườn chung một cạnh với bức tường sau nhà, nên chu vi của mảnh vườn chỉ bao gồm hai lần chiều rộng và một lần chiều dài. Do đó, ta có phương trình: \[ x + 2y = 6 \] Diện tích của mảnh vườn là: \[ A = x \cdot y \] Từ phương trình chu vi, ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \): \[ x = 6 - 2y \] Thay vào biểu thức diện tích, ta có: \[ A = (6 - 2y) \cdot y = 6y - 2y^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta cần tìm giá trị của \( y \) sao cho \( A \) đạt cực đại. Biểu thức \( A = 6y - 2y^2 \) là một hàm bậc hai có dạng \( A = -2y^2 + 6y \), đây là một parabol có hệ số của \( y^2 \) âm, do đó đồ thị là một parabol úp xuống. Đỉnh của parabol này cho giá trị lớn nhất của \( A \), và tọa độ \( y \) của đỉnh được tính bằng công thức: \[ y = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times (-2)} = \frac{6}{4} = 1.5 \] Khi \( y = 1.5 \), ta thay vào phương trình để tìm \( x \): \[ x = 6 - 2 \times 1.5 = 6 - 3 = 3 \] Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là: \[ A = 3 \times 1.5 = 4.5 \, \text{m}^2 \] Kết luận: Diện tích lớn nhất của mảnh vườn là 4.5 mét vuông.