Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm CD (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: AM và S...

Để tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng trong hình chóp S.ABCD, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa AM và SD - Xác định vị trí các điểm: - Đặt A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), S(0, 0, 2a). - M là trung điểm của CD nên M có tọa độ M($\frac{a}{2}$, a, 0). - Phương trình đường thẳng AM: - Vector chỉ phương của AM là $\overrightarrow{AM} = (\frac{a}{2}, a, 0)$. - Phương trình tham số của AM: \[ \begin{cases} x = \frac{a}{2}t \\ y = at \\ z = 0 \end{cases} \] - Phương trình đường thẳng SD: - Vector chỉ phương của SD là $\overrightarrow{SD} = (0, a, -2a)$. - Phương trình tham số của SD: \[ \begin{cases} x = 0 \\ y = a + at \\ z = 2a - 2at \end{cases} \] - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AM và SD: - Vector chỉ phương của AM: $\overrightarrow{u} = (\frac{a}{2}, a, 0)$. - Vector chỉ phương của SD: $\overrightarrow{v} = (0, a, -2a)$. - Vector nối từ A đến S: $\overrightarrow{AS} = (0, 0, 2a)$. - Tính tích có hướng: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (-2a^2, a^2, \frac{a^2}{2})$. - Độ dài của tích có hướng: $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = \sqrt{(-2a^2)^2 + (a^2)^2 + (\frac{a^2}{2})^2} = \frac{3a^2\sqrt{5}}{2}$. - Khoảng cách: $d = \frac{|\overrightarrow{AS} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})|}{|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|} = \frac{2a^3}{\frac{3a^2\sqrt{5}}{2}} = \frac{4a}{3\sqrt{5}}$. 2. Tính khoảng cách giữa AM và SC - Phương trình đường thẳng SC: - Vector chỉ phương của SC là $\overrightarrow{SC} = (a, a, -2a)$. - Phương trình tham số của SC: \[ \begin{cases} x = at \\ y = at \\ z = 2a - 2at \end{cases} \] - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AM và SC: - Vector chỉ phương của SC: $\overrightarrow{v} = (a, a, -2a)$. - Tính tích có hướng: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (-2a^2, a^2, -\frac{a^2}{2})$. - Độ dài của tích có hướng: $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = \frac{3a^2\sqrt{5}}{2}$. - Khoảng cách: $d = \frac{|\overrightarrow{AS} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})|}{|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|} = \frac{2a^3}{\frac{3a^2\sqrt{5}}{2}} = \frac{4a}{3\sqrt{5}}$. 3. Tính khoảng cách giữa AM và SB - Phương trình đường thẳng SB: - Vector chỉ phương của SB là $\overrightarrow{SB} = (a, 0, -2a)$. - Phương trình tham số của SB: \[ \begin{cases} x = at \\ y = 0 \\ z = 2a - 2at \end{cases} \] - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AM và SB: - Vector chỉ phương của SB: $\overrightarrow{v} = (a, 0, -2a)$. - Tính tích có hướng: $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (-2a^2, a^2, -a^2)$. - Độ dài của tích có hướng: $|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}| = a^2\sqrt{6}$. - Khoảng cách: $d = \frac{|\overrightarrow{AS} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v})|}{|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|} = \frac{2a^3}{a^2\sqrt{6}} = \frac{2a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy, khoảng cách giữa các cặp đường thẳng là: - AM và SD: $\frac{4a}{3\sqrt{5}}$. - AM và SC: $\frac{4a}{3\sqrt{5}}$. - AM và SB: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.