Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1. Cho $b\geq0;a\geq\sqrt b.$ Chứng minh rằng:,$a)~\sqrt{a+\sqrt b}-\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{2(a-\sqrt{a^2-b})}$,$b)~\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$,Gợi ý. Chứng minh bình phương một trong 2 vế sẽ ra bình phương vế còn lại.,Bài 2. Cho a,b là các số hữu tỷ thoả mãn $a^5+b^5=2a^2b^2.$ Chứng minh rằng $\sqrt{1-ab}\in\mathbb{Q}.$,Gợi ý. Xét 2 trường hợp $b=0$ và $b
e0.$ Với trường hợp $b
e0.$ chia cả 2 vế cho b?, đặt $t=\frac ab,$ từ đó tính,b theo t và $a.b=b^2.t$ theo t. Từ đó chứng minh 1 - ab là bình phương của 1 số.,Bài 3. Cho $a,b,c\geq0$ và $a+b+c=1.$ Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:,$a)~A=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}$,$b)~B=\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$,Nhận xét. Nếu $0\leq x\leq1$ thì $x\geq x^2\geq x^3\geq...;x\leq\sqrt x\leq\sqrt[3]x.$,Tổng quát $x^n\geq x^m$ nếu $n

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1. Cho $b\geq0;a\geq\sqrt b.$ Chứng minh rằng:,$a)~\sqrt{a+\sqrt b}-\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{2(a-\sqrt{a^2-b})}$,$b)~\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$,Gợi ý. Chứng minh bình phương một trong 2 vế sẽ ra bình phương vế còn lại.,Bài 2. Cho a,b là các số hữu tỷ thoả mãn $a^5+b^5=2a^2b^2.$ Chứng minh rằng $\sqrt{1-ab}\in\mathbb{Q}.$,Gợi ý. Xét 2 trường hợp $b=0$ và $b
e0.$ Với trường hợp $b
e0.$ chia cả 2 vế cho b?, đặt $t=\frac ab,$ từ đó tính,b theo t và $a.b=b^2.t$ theo t. Từ đó chứng minh 1 - ab là bình phương của 1 số.,Bài 3. Cho $a,b,c\geq0$ và $a+b+c=1.$ Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:,$a)~A=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}$,$b)~B=\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$,Nhận xét. Nếu $0\leq x\leq1$ thì $x\geq x^2\geq x^3\geq...;x\leq\sqrt x\leq\sqrt[3]x.$,Tổng quát $x^n\geq x^m$ nếu $n<m$ với $m,n\in\mathbb{Z}^+$ thì dấu bằng xảy ra khi $x=0$ hoặc $x=1.$,Chú ý. $3(x^2+\overline{y^2}+z^2)\geq(x+y+z)^2\geq3.(xy+yz+zx).$ Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$,Bài 4. Cho các số thực dương x,y, z thoả mãn: $x+y+z=1$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức,$P=\frac{x+yz}{y+z}+\frac{y+xz}{z+x}+\frac{z+xy}{x+y}$,Gợi ý. Ta có: $x=1-y-z$ z(Tương tự với y, z), từ đó thay vào P để tìm giá trị nhỏ nhất.,$+)~\frac ab+\frac ba\geq2.$ Dấu bằng xảy ra khi $a=b$ với a,b là các số dương cho trước.

Timi · Accepted Answer

Bài 1:
a) Ta có:
$(\sqrt{a+\sqrt b}-\sqrt{a-\sqrt b})^2=a+\sqrt b+a-\sqrt b-2\sqrt{(a+\sqrt b)(a-\sqrt b)}=2a-2\sqrt{a^2-b}=2(a-\sqrt{a^2-b})=(\sqrt{2(a-\sqrt{a^2-b})})^2$
Vậy $\sqrt{a+\sqrt b}-\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{2(a-\sqrt{a^2-b})}$
b) Ta có:
$\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}\right)^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2-2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2.\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}=a-2\sqrt{\frac{a^2-(\sqrt{a^2-b})^2}4}=a-2\sqrt{\frac{b}4}=a-\sqrt b=(\sqrt{a-\sqrt b})^2$
Vậy $\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$

Bài 2:
Ta xét 2 trường hợp:
- Nếu $b=0$ thì $a^5=0$ suy ra $a=0$. Suy ra $ab=0$ nên $\sqrt{1-ab}=1\in\mathbb{Q}$
- Nếu $b\ne0$ thì ta chia cả 2 vế cho $b^5$ ta được $\left(\frac{a}{b}\right)^5+1=2\left(\frac{a}{b}\right)^2$
Đặt $t=\frac{a}{b}$ ta có $t^5+1=2t^2$ suy ra $(t^2-t+1)(t^3+t^2-t-1)=0$
Do $t=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ nên $t^2-t+1=0$ hoặc $t^3+t^2-t-1=0$
+ Nếu $t^2-t+1=0$ thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu $t^3+t^2-t-1=0$ thì $t^3-1+t^2-t=0$ suy ra $(t-1)(t^2+t+1)+t(t-1)=0$ suy ra $(t-1)(t^2+2t+1)=0$ suy ra $t=1$ hoặc $t=-1$
Nếu $t=1$ thì $a=b$ suy ra $ab=a^2$ suy ra $1-ab=1-a^2$ suy ra $\sqrt{1-ab}=\sqrt{1-a^2}\in\mathbb{Q}$
Nếu $t=-1$ thì $a=-b$ suy ra $ab=-a^2$ suy ra $1-ab=1+a^2$ suy ra $\sqrt{1-ab}=\sqrt{1+a^2}\in\mathbb{Q}$
Vậy $\sqrt{1-ab}\in\mathbb{Q}$

Bài 3:
a) Ta có:
$$ 7a + 9 = 7(a + 1) + 2 $$
Do $ a + b + c = 1 $ nên $ a + 1 = 2 - b - c $. Suy ra:
$$ 7a + 9 = 7(2 - b - c) + 2 = 14 - 7b - 7c + 2 = 16 - 7b - 7c $$

Tương tự:
$$ 7b + 9 = 16 - 7a - 7c $$
$$ 7c + 9 = 16 - 7a - 7b $$

Ta có:
$$ A = \sqrt{16 - 7b - 7c} + \sqrt{16 - 7a - 7c} + \sqrt{16 - 7a - 7b} $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (\sqrt{16 - 7b - 7c} + \sqrt{16 - 7a - 7c} + \sqrt{16 - 7a - 7b})^2 \leq (1 + 1 + 1)(16 - 7b - 7c + 16 - 7a - 7c + 16 - 7a - 7b) $$
$$ = 3(48 - 14a - 14b - 14c) = 3(48 - 14) = 3 \cdot 34 = 102 $$

Do đó:
$$ A \leq \sqrt{102} $$

Dấu bằng xảy ra khi $ a = b = c = \frac{1}{3} $. Vậy giá trị lớn nhất của $ A $ là $ \sqrt{102} $.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ A $, ta thấy rằng $ A $ sẽ nhỏ nhất khi một trong các biến $ a, b, c $ bằng 1 và hai biến còn lại bằng 0. Giả sử $ a = 1 $, $ b = 0 $, $ c = 0 $:
$$ A = \sqrt{16 - 7 \cdot 0 - 7 \cdot 0} + \sqrt{16 - 7 \cdot 1 - 7 \cdot 0} + \sqrt{16 - 7 \cdot 1 - 7 \cdot 0} $$
$$ = \sqrt{16} + \sqrt{9} + \sqrt{9} = 4 + 3 + 3 = 10 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 10.

b) Ta có:
$$ 5a + 4 = 5(a + 1) - 1 $$
Do $ a + b + c = 1 $ nên $ a + 1 = 2 - b - c $. Suy ra:
$$ 5a + 4 = 5(2 - b - c) - 1 = 10 - 5b - 5c - 1 = 9 - 5b - 5c $$

Tương tự:
$$ 5b + 4 = 9 - 5a - 5c $$
$$ 5c + 4 = 9 - 5a - 5b $$

Ta có:
$$ B = \sqrt{9 - 5b - 5c} + \sqrt{9 - 5a - 5c} + \sqrt{9 - 5a - 5b} $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (\sqrt{9 - 5b - 5c} + \sqrt{9 - 5a - 5c} + \sqrt{9 - 5a - 5b})^2 \leq (1 + 1 + 1)(9 - 5b - 5c + 9 - 5a - 5c + 9 - 5a - 5b) $$
$$ = 3(27 - 10a - 10b - 10c) = 3(27 - 10) = 3 \cdot 17 = 51 $$

Do đó:
$$ B \leq \sqrt{51} $$

Dấu bằng xảy ra khi $ a = b = c = \frac{1}{3} $. Vậy giá trị lớn nhất của $ B $ là $ \sqrt{51} $.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ B $, ta thấy rằng $ B $ sẽ nhỏ nhất khi một trong các biến $ a, b, c $ bằng 1 và hai biến còn lại bằng 0. Giả sử $ a = 1 $, $ b = 0 $, $ c = 0 $:
$$ B = \sqrt{9 - 5 \cdot 0 - 5 \cdot 0} + \sqrt{9 - 5 \cdot 1 - 5 \cdot 0} + \sqrt{9 - 5 \cdot 1 - 5 \cdot 0} $$
$$ = \sqrt{9} + \sqrt{4} + \sqrt{4} = 3 + 2 + 2 = 7 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ B $ là 7.

Nhận xét: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $ A $ và $ B $ đều đạt được khi một trong các biến $ a, b, c $ bằng 1 và hai biến còn lại bằng 0.

Bài 4:
Ta có:
$$P=\frac{x+yz}{y+z}+\frac{y+xz}{z+x}+\frac{z+xy}{x+y}$$
$$=\frac{x+(1-x)(1-y)}{y+z}+\frac{y+(1-y)(1-z)}{z+x}+\frac{z+(1-z)(1-x)}{x+y}$$
$$=\frac{x+1-x-y+xy}{y+z}+\frac{y+1-y-z+yz}{z+x}+\frac{z+1-z-x+zx}{x+y}$$
$$=\frac{1-y+xy}{y+z}+\frac{1-z+yz}{z+x}+\frac{1-x+zx}{x+y}$$
$$=\frac{(1-y)+xy}{y+z}+\frac{(1-z)+yz}{z+x}+\frac{(1-x)+zx}{x+y}$$
$$=\frac{1-y}{y+z}+\frac{xy}{y+z}+\frac{1-z}{z+x}+\frac{yz}{z+x}+\frac{1-x}{x+y}+\frac{zx}{x+y}$$
$$=\frac{1-y}{y+z}+\frac{x(1-y)}{y+z}+\frac{1-z}{z+x}+\frac{y(1-z)}{z+x}+\frac{1-x}{x+y}+\frac{z(1-x)}{x+y}$$
$$=(1-y)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{x}{y+z}\right)+(1-z)\left(\frac{1}{z+x}+\frac{y}{z+x}\right)+(1-x)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{z}{x+y}\right)$$
$$=(1-y)\cdot\frac{1+x}{y+z}+(1-z)\cdot\frac{1+y}{z+x}+(1-x)\cdot\frac{1+z}{x+y}$$
$$=\frac{(1-y)(1+x)}{y+z}+\frac{(1-z)(1+y)}{z+x}+\frac{(1-x)(1+z)}{x+y}$$
$$=\frac{1+x-y-xy}{y+z}+\frac{1+y-z-yz}{z+x}+\frac{1+z-x-zx}{x+y}$$
$$=\frac{1+x-y}{y+z}-\frac{xy}{y+z}+\frac{1+y-z}{z+x}-\frac{yz}{z+x}+\frac{1+z-x}{x+y}-\frac{zx}{x+y}$$
$$=\frac{1+x-y}{y+z}+\frac{1+y-z}{z+x}+\frac{1+z-x}{x+y}-\left(\frac{xy}{y+z}+\frac{yz}{z+x}+\frac{zx}{x+y}\right)$$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.