làm giúp mình và tổng hợp kết quả ở dưới cùng

Câu 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 + \frac{15x^2}{2} + 12x - 4 \) trên đoạn \([-8; 1]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 + 15x + 12 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 + 15x + 12 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 + 5x + 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([-8; 1]\): - Tại \( x = -8 \): \[ y(-8) = (-8)^3 + \frac{15(-8)^2}{2} + 12(-8) - 4 = -512 + 480 - 96 - 4 = -132 \] - Tại \( x = -4 \): \[ y(-4) = (-4)^3 + \frac{15(-4)^2}{2} + 12(-4) - 4 = -64 + 120 - 48 - 4 = 6 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 + \frac{15(-1)^2}{2} + 12(-1) - 4 = -1 + \frac{15}{2} - 12 - 4 = -1 + 7.5 - 12 - 4 = -9.5 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 + \frac{15(1)^2}{2} + 12(1) - 4 = 1 + 7.5 + 12 - 4 = 16.5 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(-8) = -132 \) - \( y(-4) = 6 \) - \( y(-1) = -9.5 \) - \( y(1) = 16.5 \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-8; 1]\) là \(-132\). Đáp án: \( D.~m = -132 \) Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{10x + 2}{4 \cdot 2x} \) trên đoạn \([-5, -2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn hàm số: \[ y = \frac{10x + 2}{8x} = \frac{10x}{8x} + \frac{2}{8x} = \frac{5}{4} + \frac{1}{4x} \] 2. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{5}{4} + \frac{1}{4x} \right)' = 0 + \left( \frac{1}{4x} \right)' = \frac{-1}{4x^2} \] 3. Xác định điểm tới hạn: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{-1}{4x^2} = 0 \] Phương trình này không có nghiệm vì \(\frac{-1}{4x^2}\) không bao giờ bằng 0. 4. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn \([-5, -2]\): - Tại \( x = -5 \): \[ y(-5) = \frac{5}{4} + \frac{1}{4(-5)} = \frac{5}{4} - \frac{1}{20} = \frac{25}{20} - \frac{1}{20} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} \] - Tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = \frac{5}{4} + \frac{1}{4(-2)} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8} \] 5. So sánh các giá trị đã tính: - \( y(-5) = \frac{6}{5} \) - \( y(-2) = \frac{9}{8} \) Ta thấy: \[ \frac{6}{5} = 1.2 \quad \text{và} \quad \frac{9}{8} = 1.125 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-5, -2]\) là \( \frac{9}{8} \). 6. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{10x + 2}{8x} \) trên đoạn \([-5, -2]\) là \( \frac{9}{8} \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~m=-\frac{24}{7}} \] Câu 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = (x^2 - 5x + 1)e^x \) trên đoạn \([-4; 5]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} \left[ (x^2 - 5x + 1)e^x \right] \] Áp dụng quy tắc nhân: \[ y' = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 1)e^x \] \[ y' = e^x \left[ (2x - 5) + (x^2 - 5x + 1) \right] \] \[ y' = e^x \left[ x^2 - 3x - 4 \right] \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^x (x^2 - 3x - 4) = 0 \] Vì \( e^x > 0 \) với mọi \( x \), nên: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] \[ x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm \( x = -4, -1, 4, 5 \): \[ y(-4) = ((-4)^2 - 5(-4) + 1)e^{-4} = (16 + 20 + 1)e^{-4} = 37e^{-4} \] \[ y(-1) = ((-1)^2 - 5(-1) + 1)e^{-1} = (1 + 5 + 1)e^{-1} = 7e^{-1} \] \[ y(4) = (4^2 - 5(4) + 1)e^4 = (16 - 20 + 1)e^4 = -3e^4 \] \[ y(5) = (5^2 - 5(5) + 1)e^5 = (25 - 25 + 1)e^5 = e^5 \] 4. Xác định giá trị nhỏ nhất: So sánh các giá trị đã tính: \[ y(-4) = 37e^{-4}, \quad y(-1) = 7e^{-1}, \quad y(4) = -3e^4, \quad y(5) = e^5 \] Ta thấy rằng \( -3e^4 \) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = (x^2 - 5x + 1)e^x \) trên đoạn \([-4; 5]\) là: \[ \boxed{-3e^4} \] Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = e^{2x^2 - 4x + 1} \) trên đoạn \([0; 4]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( y = e^{2x^2 - 4x + 1} \) xác định trên toàn bộ miền số thực, vì hàm mũ luôn xác định. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = e^{2x^2 - 4x + 1} \] Đặt \( u = 2x^2 - 4x + 1 \). Khi đó: \[ y = e^u \] Đạo hàm \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(e^u) = e^u \cdot \frac{du}{dx} \] Tính \( \frac{du}{dx} \): \[ \frac{du}{dx} = 4x - 4 \] Do đó: \[ y' = e^{2x^2 - 4x + 1} \cdot (4x - 4) \] 3. Tìm điểm dừng: Để tìm điểm dừng, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^{2x^2 - 4x + 1} \cdot (4x - 4) = 0 \] Vì \( e^{2x^2 - 4x + 1} \neq 0 \) với mọi \( x \), nên: \[ 4x - 4 = 0 \implies x = 1 \] 4. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm dừng: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = e^{2(0)^2 - 4(0) + 1} = e^1 = e \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = e^{2(1)^2 - 4(1) + 1} = e^{2 - 4 + 1} = e^{-1} \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = e^{2(4)^2 - 4(4) + 1} = e^{32 - 16 + 1} = e^{17} \] 5. Kết luận: So sánh các giá trị \( y(0) = e \), \( y(1) = e^{-1} \), và \( y(4) = e^{17} \), ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 4]\) là \( e^{17} \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = e^{2x^2 - 4x + 1} \) trên đoạn \([0; 4]\) là \( e^{17} \). Đáp án đúng là: \( A.~e^{17} \). Câu 5: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = \ln(2x^2 + 3x + 3) \) trên đoạn \([0, 1]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( y = \ln(2x^2 + 3x + 3) \) có miền xác định khi \( 2x^2 + 3x + 3 > 0 \). Vì \( 2x^2 + 3x + 3 \) là một đa thức bậc hai với hệ số \( a = 2 > 0 \), nên nó luôn dương với mọi \( x \). Do đó, hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực. 2. Tính đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = \ln(2x^2 + 3x + 3) \] Đạo hàm \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \ln(2x^2 + 3x + 3) \right) = \frac{1}{2x^2 + 3x + 3} \cdot \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x + 3) \] \[ y' = \frac{1}{2x^2 + 3x + 3} \cdot (4x + 3) = \frac{4x + 3}{2x^2 + 3x + 3} \] 3. Tìm các điểm tới hạn: Để tìm các điểm tới hạn, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{4x + 3}{2x^2 + 3x + 3} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 4x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{4} \] Tuy nhiên, \( x = -\frac{3}{4} \) không nằm trong đoạn \([0, 1]\). 4. So sánh giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn: Ta tính giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) và \( x = 1 \): \[ y(0) = \ln(2(0)^2 + 3(0) + 3) = \ln(3) \] \[ y(1) = \ln(2(1)^2 + 3(1) + 3) = \ln(2 + 3 + 3) = \ln(8) \] 5. Kết luận: So sánh các giá trị đã tính: \[ y(0) = \ln(3) \] \[ y(1) = \ln(8) \] Vì \( \ln(8) > \ln(3) \), nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0, 1]\) là \( \ln(8) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{B. } \ln 8} \] Câu 6: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^3 - \frac{14x^2}{2} - 12x + 1 \) trên nửa khoảng \([-7; -3)\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-x^3 - \frac{14x^2}{2} - 12x + 1\right) \] \[ y' = -3x^2 - 14x - 12 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn. \[ -3x^2 - 14x - 12 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = -3 \), \( b = -14 \), \( c = -12 \): \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(-3)(-12)}}{2(-3)} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 144}}{-6} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{52}}{-6} \] \[ x = \frac{14 \pm 2\sqrt{13}}{-6} \] \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{-3} \] Do đó, các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{13}}{-3} \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{-3} \] Bước 3: Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng \([-7; -3)\). Ta thấy rằng \( x_1 \) và \( x_2 \) đều nằm ngoài khoảng \([-7; -3)\). Do đó, ta chỉ cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các đầu mút của khoảng. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại \( x = -7 \) và \( x = -3 \). \[ y(-7) = -(-7)^3 - \frac{14(-7)^2}{2} - 12(-7) + 1 \] \[ y(-7) = -(-343) - \frac{14 \cdot 49}{2} + 84 + 1 \] \[ y(-7) = 343 - 343 + 84 + 1 \] \[ y(-7) = 85 \] \[ y(-3) = -(-3)^3 - \frac{14(-3)^2}{2} - 12(-3) + 1 \] \[ y(-3) = -(-27) - \frac{14 \cdot 9}{2} + 36 + 1 \] \[ y(-3) = 27 - 63 + 36 + 1 \] \[ y(-3) = 1 \] Bước 5: So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng \([-7; -3)\) là \( y(-3) = 1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 1 \). Đáp án đúng là: \( D. \frac{47}{2} \). Câu 7: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{2-x}{-5x-4} \) trên nửa khoảng \([4;12)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( y = \frac{2-x}{-5x-4} \) có mẫu số là \(-5x-4\). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ -5x - 4 \neq 0 \implies x \neq -\frac{4}{5} \] Vì \( x \) nằm trong nửa khoảng \([4;12)\), nên \( x \neq -\frac{4}{5} \) không ảnh hưởng đến miền xác định của \( x \). 2. Tính đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y = \frac{2-x}{-5x-4} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2-x)'(-5x-4) - (2-x)(-5x-4)'}{(-5x-4)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (2-x)' = -1 \quad \text{và} \quad (-5x-4)' = -5 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{-1(-5x-4) - (2-x)(-5)}{(-5x-4)^2} \] \[ y' = \frac{5x + 4 + 5(2 - x)}{(-5x-4)^2} \] \[ y' = \frac{5x + 4 + 10 - 5x}{(-5x-4)^2} \] \[ y' = \frac{14}{(-5x-4)^2} \] 3. Xác định dấu của đạo hàm: \[ y' = \frac{14}{(-5x-4)^2} \] Vì \( 14 > 0 \) và \((-5x-4)^2 > 0\) (do bình phương luôn dương), nên \( y' > 0 \) trên toàn bộ miền xác định. 4. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Vì \( y' > 0 \) trên \([4;12)\), hàm số \( y \) đồng biến trên nửa khoảng này. 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Do hàm số đồng biến trên \([4;12)\), giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ đạt tại điểm đầu của khoảng, tức là tại \( x = 4 \): \[ y(4) = \frac{2-4}{-5(4)-4} = \frac{-2}{-20-4} = \frac{-2}{-24} = \frac{1}{12} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{2-x}{-5x-4} \) trên nửa khoảng \([4;12)\) là: \[ \boxed{\frac{1}{12}} \] Câu 8: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên khoảng \((-\infty; 0)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Vì chúng ta đang xét trên khoảng \((-\infty; 0)\), nên chỉ lấy \( x = -2 \). 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) để xác định tính đơn điệu của hàm số: - Khi \( x < -2 \): \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} > 0 \quad (\text{vì } x^2 > 4) \] Hàm số đồng biến. - Khi \( -2 < x < 0 \): \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} < 0 \quad (\text{vì } x^2 < 4) \] Hàm số nghịch biến. 4. Kết luận về giá trị lớn nhất: - Tại \( x = -2 \), hàm số đạt cực đại: \[ y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4 \] - Do hàm số đồng biến trên \((-\infty; -2)\) và nghịch biến trên \((-2; 0)\), nên giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \((-\infty; 0)\) là \(-4\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \) trên khoảng \((-\infty; 0)\) là \(-4\). Đáp án đúng là: D. -4.