giải chi tiết giúp mj với lớp 11

Chúng ta sẽ giải từng bài một cách chi tiết: --- **Bài 31:** Con lắc đơn dài \( l=1\,m \), biên độ góc \(\alpha_0=0,1\,rad\), lấy \( g=10\, m/s^2 \). Gốc thế năng chọn tại vị trí cân bằng. - Thế năng tại góc \(\alpha\) là: \[ W_t = mg l (1 - \cos\alpha) \] - Động năng: \[ W_d = \frac{1}{2} m v^2 \] Khi động năng bằng thế năng: \[ W_d = W_t \implies \frac{1}{2} m v^2 = mg l (1 - \cos \alpha) \implies v^2 = 2 g l (1 - \cos \alpha) \] Ta cần tìm vận tốc \(v\) khi: \[ W_d = W_t \] Tức là tại góc \(\alpha\) nào đó, động năng và thế năng bằng nhau. Biên độ góc \(\alpha_0 = 0,1\) rad, con lắc dao động từ \(-\alpha_0\) đến \(\alpha_0\). Động năng bằng thế năng tại điểm nào đó trong dao động, tức: \[ W_d = W_t = \frac{E}{2} \] Với \(E\) là cơ năng tổng (động năng + thế năng không đổi). Cơ năng của con lắc là: \[ E = mg l (1 - \cos \alpha_0) \] Do đó: \[ W_t = mg l (1 - \cos \alpha) = \frac{E}{2} = \frac{mg l (1 - \cos \alpha_0)}{2} \implies 1 - \cos \alpha = \frac{1 - \cos \alpha_0}{2} \] Suy ra: \[ \cos \alpha = 1 - \frac{1 - \cos \alpha_0}{2} = \frac{1 + \cos \alpha_0}{2} \] Tính \(\cos \alpha_0\): \(\alpha_0=0.1\, rad\), gần bằng 5.73° \(\cos 0.1 \approx 0.995\) Thay vào: \[ \cos \alpha = \frac{1 + 0.995}{2} = \frac{1.995}{2} = 0.9975 \] Tính \(\alpha\): \(\alpha = \arccos 0.9975 \approx 0.0707\, rad\) Bây giờ tính vận tốc tại góc \(\alpha\): \[ v = \sqrt{2 g l (1 - \cos \alpha)} \] Tính \(1 - \cos \alpha\): \[ 1 - 0.9975 = 0.0025 \] Vận tốc: \[ v = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times 0.0025} = \sqrt{0.05} = 0.2236\, m/s \] Chọn gần nhất là **0,22 m/s** **Đáp án: A. 0,22 m/s** --- **Bài 32:** Con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc \(6^\circ\). Khi động năng bằng 2 lần thế năng, tìm góc lệch \(\alpha\). Ta có: \[ W_d = 2 W_t \] Với tổng năng lượng: \[ E = W_d + W_t = 3 W_t \implies W_t = \frac{E}{3}, \quad W_d = \frac{2E}{3} \] Cơ năng: \[ E = mg l (1 - \cos \alpha_0) \] Thế năng tại góc \(\alpha\): \[ W_t = mg l (1 - \cos \alpha) = \frac{E}{3} = \frac{mg l (1 - \cos \alpha_0)}{3} \] Suy ra: \[ 1 - \cos \alpha = \frac{1 - \cos \alpha_0}{3} \implies \cos \alpha = 1 - \frac{1 - \cos \alpha_0}{3} = \frac{2 + \cos \alpha_0}{3} \] Tính \(\cos \alpha_0\) với \(\alpha_0=6^\circ\): \[ \cos 6^\circ \approx 0.9945 \] Thay vào: \[ \cos \alpha = \frac{2 + 0.9945}{3} = \frac{2.9945}{3} = 0.99817 \] Tính \(\alpha\): \[ \alpha = \arccos 0.99817 \approx 3.15^\circ \] **Đáp án: D. 3,15°** --- **Bài 33:** Con lắc lò xo: độ cứng \(k=100\,N/m\). Khi động năng \(W_d = 0.01\,J\), vật cách vị trí cân bằng \(x_1=1\,cm = 0.01\,m\). Khi động năng \(W_d = 0.005\,J\), tìm khoảng cách \(x\). Năng lượng toàn phần: \[ E = W_d + W_t = \text{hằng số} \] Khi vật tại vị trí \(x\), thế năng: \[ W_t = \frac{1}{2} k x^2 \] Động năng: \[ W_d = E - W_t \] Ở trạng thái đầu tiên: \[ W_d = 0.01\,J, \quad x_1 = 0.01\,m \] \[ W_t = \frac{1}{2} k x_1^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.01)^2 = 0.005\,J \] \[ E = W_d + W_t = 0.01 + 0.005 = 0.015\,J \] Ở trạng thái thứ hai: \[ W_d = 0.005\,J \] \[ W_t = E - W_d = 0.015 - 0.005 = 0.01\,J \] \[ \frac{1}{2} k x^2 = 0.01 \implies x^2 = \frac{2 \times 0.01}{100} = 0.0002 \] \[ x = \sqrt{0.0002} = 0.01414\, m = 1.414\, cm \] Gần với \(\sqrt{2}\, cm \approx 1.414\, cm\). **Đáp án: C. \(\sqrt{2}\, cm\)** --- **Bài 34:** Con lắc lò xo nằm ngang: - Khối lượng \(m=0.5\,kg\) - Độ cứng lò xo \(k=50\, N/m\) - Vận tốc tại thời điểm xét: \(v=0.1\, m/s\) - Gia tốc: \(a = -\sqrt{3} \, m/s^2 \approx -1.732\, m/s^2\) Tính cơ năng \(E\). Phương trình dao động con lắc lò xo: \[ a = -\omega^2 x, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] Từ gia tốc ta tìm vị trí \(x\): \[ x = -\frac{a}{\omega^2} \] Tính \(\omega\): \[ \omega = \sqrt{\frac{50}{0.5}} = \sqrt{100} = 10\, rad/s \] Do đó: \[ x = -\frac{-\sqrt{3}}{10^2} = \frac{1.732}{100} = 0.01732\, m = 1.732\, cm \] Cơ năng: \[ E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} k (x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}) \] Ta sử dụng phương trình: \[ E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 \] Tính từng phần: \[ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.1)^2 = 0.25 \times 0.01 = 0.0025\, J \] \[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.01732)^2 = 25 \times 0.0003 = 0.0075\, J \] Cơ năng: \[ E = 0.0025 + 0.0075 = 0.01\, J \] **Đáp án: D. 0,01 J** --- **Tóm tắt đáp án:** 31. A. 0,22 m/s 32. D. 3,15° 33. C. \(\sqrt{2}\, cm\) 34. D. 0,01 J