Giúp mình với!

Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh \(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta ACF\): - Xét hai tam giác \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACF\), ta có: - \(\angle ABD = \angle ACF = 90^\circ\) (vì \(BD\) và \(CF\) là các đường cao). - \(\angle BAD = \angle CAF\) (cùng là góc \(\angle BAC\)). Do đó, theo trường hợp góc - góc (g-g), ta có \(\Delta ABD \sim \Delta ACF\). b) Chứng minh \(\Delta ABC\) đồng dạng \(\Delta ADF\) và \(BH \cdot BD + CH \cdot CF = BC^2\): - Xét hai tam giác \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADF\), ta có: - \(\angle BAC = \angle DAF\) (cùng là góc \(\angle BAC\)). - \(\angle ABC = \angle ADF\) (vì \(\angle ABC = 90^\circ - \angle ACB\) và \(\angle ADF = 90^\circ - \angle ADF\)). Do đó, theo trường hợp góc - góc (g-g), ta có \(\Delta ABC \sim \Delta ADF\). - Để chứng minh \(BH \cdot BD + CH \cdot CF = BC^2\), ta sử dụng tính chất của trực tâm: - Ta có \(BH = \frac{2S_{ABC}}{AC}\) và \(CH = \frac{2S_{ABC}}{AB}\). - Từ đó, \(BH \cdot BD + CH \cdot CF = \frac{2S_{ABC}}{AC} \cdot BD + \frac{2S_{ABC}}{AB} \cdot CF\). - Sử dụng định lý Pythagore trong \(\Delta ABC\), ta có \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)\). - Từ đó, ta có thể suy ra \(BH \cdot BD + CH \cdot CF = BC^2\). c) Chứng minh \(\frac{HE}{AE} + \frac{HD}{BD} + \frac{HF}{CF} = 1\): - Sử dụng tính chất của trực tâm và các đường cao trong tam giác: - Ta có \(HE = AE - AH\), \(HD = BD - BH\), \(HF = CF - CH\). - Do đó, \(\frac{HE}{AE} = 1 - \frac{AH}{AE}\), \(\frac{HD}{BD} = 1 - \frac{BH}{BD}\), \(\frac{HF}{CF} = 1 - \frac{CH}{CF}\). - Cộng ba biểu thức trên lại, ta có: \[ \frac{HE}{AE} + \frac{HD}{BD} + \frac{HF}{CF} = 3 - \left(\frac{AH}{AE} + \frac{BH}{BD} + \frac{CH}{CF}\right) \] - Theo tính chất của trực tâm, ta có \(\frac{AH}{AE} + \frac{BH}{BD} + \frac{CH}{CF} = 2\). - Do đó, \(\frac{HE}{AE} + \frac{HD}{BD} + \frac{HF}{CF} = 3 - 2 = 1\). Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 5: a) Số trận đấu diễn ra là: 5 × 4 : 2 = 10 (trận) b) Ta thấy: Tổng số điểm của 5 vận động viên là 10 điểm (vì mỗi trận đấu có tổng số điểm là 1 điểm). Vận động viên hạng 1 có 4 trận thắng nên có 4 điểm. Vận động viên hạng 2 có 3 trận thắng và 1 trận hòa nên có 3,5 điểm. Vận động viên hạng 3 có 2 trận thắng, 1 trận hòa và 1 trận thua nên có 2,5 điểm. Vận động viên hạng 4 có 1 trận thắng, 2 trận hòa và 1 trận thua nên có 1,5 điểm. Vận động viên hạng 5 có 3 trận thua và 1 trận hòa nên có 0,5 điểm.