Câu $\rm 3$.

Câu 3: Phương trình đã cho tương đương với: \[ m(\sin x + 1) = 5\cos x - 1 \] Xét hai trường hợp: 1. Nếu \(\sin x + 1 = 0\) thì \(\sin x = -1\). Thay vào phương trình ta có: \[ 0 = 5\cos x - 1 \] \[ \cos x = \frac{1}{5} \] Điều này vô lý vì \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) không thể đồng thời thỏa mãn \(\sin x = -1\) và \(\cos x = \frac{1}{5}\). 2. Nếu \(\sin x + 1 \neq 0\) thì phương trình tương đương với: \[ m = \frac{5\cos x - 1}{\sin x + 1} \] Ta cần tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình trên có nghiệm. Để làm điều này, ta sẽ tìm miền giá trị của biểu thức \(\frac{5\cos x - 1}{\sin x + 1}\). Xét biểu thức: \[ f(x) = \frac{5\cos x - 1}{\sin x + 1} \] Để tìm miền giá trị của \(f(x)\), ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(f(x)\). - Khi \(\sin x = 1\): \[ f(x) = \frac{5\cos x - 1}{2} \] \[ \cos x = 0 \Rightarrow f(x) = -\frac{1}{2} \] - Khi \(\sin x = -1\): \[ f(x) = \frac{5\cos x - 1}{0} \] Điều này vô nghĩa. - Khi \(\sin x = 0\): \[ f(x) = \frac{5\cos x - 1}{1} \] \[ \cos x = 1 \Rightarrow f(x) = 4 \] \[ \cos x = -1 \Rightarrow f(x) = -6 \] Do đó, miền giá trị của \(f(x)\) là \([-6, 4]\). Vậy, phương trình \(5\cos x - m\sin x = m + 1\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m\) nằm trong khoảng \([-6, 4]\). Đáp án: \(m \in [-6, 4]\)