Câu $\rm 6$.

Cho tam giác \( ABC \). Trên mỗi cạnh \( AB, BC, CA \) lần lượt lấy \( m, n, p \) điểm (không trùng với các đỉnh). Bài toán yêu cầu: Tính số tam giác có đỉnh là các điểm vừa lấy. --- **Phân tích:** - Tổng số điểm đã cho là \( m + n + p \). - Các tam giác được tạo thành bởi các điểm lấy trên các cạnh, không phải đỉnh \( A, B, C \). Chú ý: - Tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng. - Các điểm cùng nằm trên một cạnh thì không thể tạo thành tam giác (3 điểm cùng trên một đường thẳng). - Các tam giác được tạo bởi các điểm nằm trên các cạnh khác nhau hoặc phối hợp giữa các cạnh. --- **Bước 1:** Tính tổng số tam giác có thể tạo từ tất cả các điểm. Tổng số cách chọn 3 điểm trong \( m + n + p \) điểm là: \[ \binom{m+n+p}{3} \] --- **Bước 2:** Loại bỏ các tam giác "không hợp lệ", tức là tam giác có 3 điểm thẳng hàng. Trong trường hợp này, 3 điểm thẳng hàng xảy ra khi chọn 3 điểm trên cùng một cạnh. - Số cách chọn 3 điểm trên cạnh \( AB \) là \(\binom{m}{3}\). - Số cách chọn 3 điểm trên cạnh \( BC \) là \(\binom{n}{3}\). - Số cách chọn 3 điểm trên cạnh \( CA \) là \(\binom{p}{3}\). --- **Bước 3:** Vậy số tam giác tạo được là: \[ S = \binom{m+n+p}{3} - \binom{m}{3} - \binom{n}{3} - \binom{p}{3} \] --- **Lưu ý:** Ở đây giả thiết là các điểm nằm trên mỗi cạnh thẳng hàng, và các điểm nằm trên các cạnh khác nhau thì không thẳng hàng (vì là tam giác, các cạnh tạo thành một tam giác). --- **Kết luận:** Số tam giác có đỉnh là các điểm vừa lấy là: \[ \boxed{ \binom{m+n+p}{3} - \binom{m}{3} - \binom{n}{3} - \binom{p}{3} } \] --- **Ví dụ minh họa:** Nếu \( m=2, n=2, p=2 \), thì tổng số điểm là 6. - Tổng số tam giác chọn 3 trong 6 điểm: \(\binom{6}{3} = 20\) - Số tam giác trên từng cạnh: \(\binom{2}{3} = 0\) (vì 2 điểm không thể chọn 3) - Vậy số tam giác tạo được là \(20 - 0 - 0 - 0 = 20\). --- Nếu cần, thầy/cô có thể giải thích thêm về tổ hợp và cách tính số tam giác!