Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo trục Ox Với biên độ 8 cm chu kỳ 1 giây Tại thời điểm 2,875 giây Vật đi qua vị trí có li độ là 4 căn 2 cm và đang chuyển động về phía vị trí cân bằng. Phương trì...

Cho con lắc lò xo dao động điều hòa theo trục Ox với các dữ kiện: - Biên độ A = 8 cm = 0,08 m - Chu kỳ T = 1 giây - Tại thời điểm t = 2,875 s, vật có li độ x = 4√2 cm = 0,04√2 m - Vật đang chuyển động về phía vị trí cân bằng (nghĩa là vận tốc âm khi li độ dương hoặc vận tốc dương khi li độ âm) --- **Bước 1: Viết phương trình tổng quát dao động điều hòa** Phương trình dao động điều hòa có dạng: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi) \] trong đó: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \, \text{rad/s} \] --- **Bước 2: Tính pha \(\omega t + \varphi\) tại t = 2,875 s** Gọi: \[ \theta = \omega t + \varphi \] Ta có: \[ x = A \cos \theta = 0,08 \cos \theta = 0,04 \sqrt{2} \] Suy ra: \[ \cos \theta = \frac{0,04 \sqrt{2}}{0,08} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} \] Vậy: \[ \theta = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- **Bước 3: Xác định dấu vận tốc tại t = 2,875 s** Vận tốc: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin \theta \] Vật đang chuyển động về phía vị trí cân bằng, nghĩa là nếu x > 0 thì v < 0 (đang đi về 0 từ phía dương). Ở đây: - \(x = 0,04 \sqrt{2} > 0\) - Do đó, vận tốc \(v < 0\) - \(v = -A \omega \sin \theta < 0 \Rightarrow -\sin \theta < 0 \Rightarrow \sin \theta > 0\) --- **Bước 4: Xác định \(\theta\) thỏa mãn** \[ \cos \theta = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \theta > 0 \] - Các góc có cos = \(\sqrt{2}/2\) là \(\theta = \frac{\pi}{4}\) hoặc \(\theta = \frac{7\pi}{4}\) (tương đương -\(\frac{\pi}{4}\)) - \(\sin \frac{\pi}{4} > 0\) - \(\sin \frac{7\pi}{4} < 0\) Vậy chọn \(\theta = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) --- **Bước 5: Tìm pha ban đầu \(\varphi\)** \[ \theta = \omega t + \varphi = 2\pi \times 2,875 + \varphi = 2\pi \times 2 + 2\pi \times 0,875 + \varphi = 4\pi + 1,75\pi + \varphi = 5,75 \pi + \varphi \] Nhưng \(\theta \equiv \frac{\pi}{4} \mod 2\pi\), tức là: \[ 5,75\pi + \varphi = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Để đơn giản, lấy k sao cho \(\varphi \in (-\pi, \pi]\). Viết 5,75π dưới dạng: \[ 5,75\pi = 5\pi + 0,75\pi = 2 \times 2\pi + \pi + 0,75\pi \] \[ 5,75\pi = 4\pi + 1,75\pi \] Như trên, nên ta có thể trừ 2π: \[ 5,75 \pi = 5,75\pi - 4\pi + 4\pi = 1,75\pi + 4\pi \] Như vậy: \[ 1,75 \pi + \varphi = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] Lấy \(k = 0\), ta được: \[ \varphi = \frac{\pi}{4} - 1,75 \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} = - \frac{6\pi}{4} = -\frac{3\pi}{2} \] Vì \(-\frac{3\pi}{2}\) không nằm trong khoảng \(-\pi, \pi\), ta cộng \(2\pi\): \[ \varphi = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} \] --- **Kết luận:** Phương trình dao động là: \[ \boxed{ x = 0,08 \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{2} \right) \quad (m) } \] Nếu muốn viết theo cm: \[ x = 8 \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{2} \right) \quad (cm) \] --- **Lưu ý:** \[ \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \theta \] Do đó phương trình cũng có thể viết: \[ x = 8 \cos \left( 2\pi t + \frac{\pi}{2} \right) = -8 \sin (2\pi t) \] Cả hai dạng đều đúng.