Tam giác nhọn ABC, đường Simson của điểm P trên (O) là d_P. Lấy hai điểm khác nhau P, Q trên cung nhỏ BC không chứa A. Gọi X = d_P ∩ d_Q. Chứng minh quỹ tích X khi P, Q chạy độc lập trên cung đó là một cung tròn cố định và xác định tâm–bán kính cung này.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của đường Simson và hình học phẳng.

Bước 1: Tính chất của đường Simson

Đường Simson của một điểm P trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là tập hợp các điểm hình chiếu vuông góc của P lên các cạnh BC, CA, và AB. Đường thẳng này sẽ cắt các cạnh của tam giác tại ba điểm thẳng hàng.

Bước 2: Xác định điểm X

Cho hai điểm P và Q trên cung nhỏ BC không chứa A. Đường Simson của P là $d_P$ và của Q là $d_Q$. Gọi X là giao điểm của $d_P$ và $d_Q$.

Bước 3: Chứng minh quỹ tích của X là một cung tròn cố định

1. Tính chất của đường Simson: Khi P di chuyển trên cung nhỏ BC, đường Simson $d_P$ sẽ quay quanh tam giác ABC. Tương tự, khi Q di chuyển trên cung nhỏ BC, đường Simson $d_Q$ cũng quay quanh tam giác ABC.

2. Góc giữa hai đường Simson: Một tính chất quan trọng là góc giữa hai đường Simson $d_P$ và $d_Q$ bằng nửa góc giữa hai dây cung BP và BQ (hoặc CP và CQ). Điều này là do góc giữa hai đường Simson bằng nửa góc giữa hai điểm trên đường tròn ngoại tiếp.

3. Quỹ tích của X: Khi P và Q di chuyển độc lập trên cung nhỏ BC, điểm X sẽ di chuyển trên một cung tròn. Cung tròn này là một phần của đường tròn chín điểm (đường tròn Euler) của tam giác ABC. Đường tròn chín điểm có tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bước 4: Xác định tâm và bán kính của cung tròn

- Tâm của cung tròn: Tâm của cung tròn mà X di chuyển trên chính là tâm của đường tròn chín điểm của tam giác ABC.
- Bán kính của cung tròn: Bán kính của cung tròn này bằng nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Như vậy, quỹ tích của điểm X khi P và Q chạy độc lập trên cung nhỏ BC là một cung tròn cố định, thuộc đường tròn chín điểm của tam giác ABC, với tâm là trung điểm của đoạn nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và bán kính bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Tam giác nhọn ABC, đường Simson của điểm P trên (O) là d_P. Lấy hai điểm khác nhau P, Q trên cung nhỏ BC không chứa A. Gọi X = d_P ∩ d_Q. Chứng minh quỹ tích X khi P, Q chạy độc lập trên cung đó là một...