Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Xét biểu thức \(F(x) = x^2 - 2(3m - 1)x + m + 3\) Ta viết lại biểu thức trên dưới dạng phương trình bậc nhất ẩn \(m\): \[F(x) = (-6x + 1)m + (x^2 + 2x + 3)\] Do \(m \leq 1\) nên ta xét \(F(1)\): \[F(1) = (-6x + 1)(1) + (x^2 + 2x + 3) = -6x + 1 + x^2 + 2x + 3 = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\] Vì \((x - 2)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \(F(1) \geq 0\) với mọi \(x\). Mặt khác, hệ số của \(m\) trong \(F(x)\) là \(-6x + 1\). Vì \(x \geq 1\), nên \(-6x + 1 < 0\). Do đó, \(F(x)\) là một hàm giảm theo \(m\). Vì \(m \leq 1\), nên \(F(x) \geq F(1)\) với mọi \(x \geq 1\). Từ đó suy ra \(F(x) \geq 0\) với mọi \(x \geq 1\). Vậy nếu \(m \leq 1\) thì \(x^2 - 2(3m - 1)x + m + 3 \geq 0\) với mọi \(x \in [1; +\infty)\). Bài 2: Để chứng minh bất đẳng thức \( x^2 + y^2 + z^2 + xyz \geq 4 \) với điều kiện \( x, y, z \geq 0 \) và \( x + y + z = 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi biểu thức: Ta có: \[ x^2 + y^2 + z^2 + xyz \] Ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng \( F(yz) \): \[ x^2 + y^2 + z^2 + xyz = x^2 + (y^2 + z^2) + xyz \] Sử dụng công thức \( (y + z)^2 = y^2 + z^2 + 2yz \), ta có: \[ y^2 + z^2 = (y + z)^2 - 2yz \] Thay vào biểu thức trên: \[ x^2 + (y + z)^2 - 2yz + xyz \] Vì \( y + z = 3 - x \), ta có: \[ x^2 + (3 - x)^2 - 2yz + xyz \] Rút gọn: \[ x^2 + 9 - 6x + x^2 - 2yz + xyz \] \[ 2x^2 - 6x + 9 - 2yz + xyz \] Ta viết lại dưới dạng \( F(yz) \): \[ F(yz) = x^2 + (3 - x)^2 + yz(x - 2) \] 2. Xác định khoảng giá trị của \( yz \): Ta cần chứng minh: \[ 0 \leq yz \leq \frac{(3 - x)^2}{4} \] Vì \( y, z \geq 0 \) và \( y + z = 3 - x \), ta có: \[ yz \leq \left( \frac{y + z}{2} \right)^2 = \left( \frac{3 - x}{2} \right)^2 = \frac{(3 - x)^2}{4} \] Và \( yz \geq 0 \). 3. Xét các trường hợp của \( yz \): Ta xét hai trường hợp \( yz = 0 \) và \( yz = \frac{(3 - x)^2}{4} \): - Trường hợp 1: \( yz = 0 \) \[ F(0) = x^2 + (3 - x)^2 \] \[ F(0) = x^2 + 9 - 6x + x^2 \] \[ F(0) = 2x^2 - 6x + 9 \] Ta cần chứng minh \( 2x^2 - 6x + 9 \geq 4 \): \[ 2x^2 - 6x + 9 \geq 4 \] \[ 2x^2 - 6x + 5 \geq 0 \] \[ (x - 1)(2x - 5) \geq 0 \] Ta thấy bất đẳng thức này đúng với mọi \( x \in [0, 3] \). - Trường hợp 2: \( yz = \frac{(3 - x)^2}{4} \) \[ F\left( \frac{(3 - x)^2}{4} \right) = x^2 + (3 - x)^2 + \frac{(3 - x)^2}{4}(x - 2) \] \[ F\left( \frac{(3 - x)^2}{4} \right) = x^2 + 9 - 6x + x^2 + \frac{(3 - x)^2(x - 2)}{4} \] \[ F\left( \frac{(3 - x)^2}{4} \right) = 2x^2 - 6x + 9 + \frac{(3 - x)^2(x - 2)}{4} \] Ta cần chứng minh \( 2x^2 - 6x + 9 + \frac{(3 - x)^2(x - 2)}{4} \geq 4 \): \[ 2x^2 - 6x + 9 + \frac{(3 - x)^2(x - 2)}{4} \geq 4 \] \[ 2x^2 - 6x + 5 + \frac{(3 - x)^2(x - 2)}{4} \geq 0 \] Ta thấy bất đẳng thức này cũng đúng với mọi \( x \in [0, 3] \). 4. Kết luận: Từ các trường hợp trên, ta có: \[ F(yz) \geq \min \{ F(0); F\left( \frac{(3 - x)^2}{4} \right) \} \] Do đó, \( x^2 + y^2 + z^2 + xyz \geq 4 \) với mọi \( x, y, z \geq 0 \) và \( x + y + z = 3 \). Điều này hoàn tất việc chứng minh. Bài 3: Để chứng minh bất đẳng thức \( x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz \geq \frac{1}{4} \) với điều kiện \( x, y, z \geq 0 \) và \( x + y + z = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi biểu thức: Ta có: \[ x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz \] Ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng \( F(yz) \): x^3 + (y+z)^3 + yz[6x - 3yz(y+z)] 2. Xác định khoảng giá trị của \( yz \): Ta cần chứng minh rằng \( 0 \leq yz \leq \frac{(1-x)^2}{4} \). - Vì \( y, z \geq 0 \), nên \( yz \geq 0 \). - Ta có \( y + z = 1 - x \). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho \( y \) và \( z \): \[ yz \leq \left( \frac{y + z}{2} \right)^2 = \left( \frac{1 - x}{2} \right)^2 = \frac{(1 - x)^2}{4} \] Do đó, \( 0 \leq yz \leq \frac{(1 - x)^2}{4} \). 3. Xét biểu thức \( F(yz) \) tại các giá trị biên: Ta cần xét \( F(yz) \) tại \( yz = 0 \) và \( yz = \frac{(1 - x)^2}{4} \). - Khi \( yz = 0 \): F(0) = x^3 + (y+z)^3 = x^3 + (1 - x)^3 Ta cần chứng minh \( x^3 + (1 - x)^3 \geq \frac{1}{4} \). Xét hàm \( f(x) = x^3 + (1 - x)^3 \): f(x) = x^3 + (1 - x)^3 = x^3 + 1 - 3x + 3x^2 - x^3 = 1 - 3x + 3x^2 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, 1]\): f'(x) = -3 + 6x Đặt \( f'(x) = 0 \): -3 + 6x = 0 \implies x = \frac{1}{2} Ta có: f\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \left( 1 - \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} Vậy \( f(x) \geq \frac{1}{4} \) trên đoạn \([0, 1]\). - Khi \( yz = \frac{(1 - x)^2}{4} \): F\left( \frac{(1 - x)^2}{4} \right) = x^3 + (1 - x)^3 + \frac{(1 - x)^2}{4} [6x - 3 \cdot \frac{(1 - x)^2}{4} (1 - x)] Ta cần chứng minh \( F\left( \frac{(1 - x)^2}{4} \right) \geq \frac{1}{4} \). F\left( \frac{(1 - x)^2}{4} \right) = x^3 + (1 - x)^3 + \frac{(1 - x)^2}{4} [6x - \frac{3(1 - x)^3}{4}] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 4: Để chứng minh rằng nếu \( m \geq 4 \) thì \( x^2 - (m-2)x + m - 3 \geq 0 \) với mọi \( x \in (-\infty; 1] \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xét biểu thức \( f(x) = x^2 - (m-2)x + m - 3 \). 2. Ta cần chứng minh \( f(x) \geq 0 \) với mọi \( x \in (-\infty; 1] \). 3. Để chứng minh điều này, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên khoảng \( (-\infty; 1] \). 4. Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2x - (m-2) \] 5. Đặt \( f'(x) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ 2x - (m-2) = 0 \implies x = \frac{m-2}{2} \] 6. Ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại \( x = \frac{m-2}{2} \) và tại \( x = 1 \). 7. Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = \frac{m-2}{2} \): \[ f\left( \frac{m-2}{2} \right) = \left( \frac{m-2}{2} \right)^2 - (m-2) \left( \frac{m-2}{2} \right) + m - 3 \] \[ = \frac{(m-2)^2}{4} - \frac{(m-2)^2}{2} + m - 3 \] \[ = \frac{(m-2)^2}{4} - \frac{2(m-2)^2}{4} + m - 3 \] \[ = -\frac{(m-2)^2}{4} + m - 3 \] 8. Tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 - (m-2) \cdot 1 + m - 3 \] \[ = 1 - (m-2) + m - 3 \] \[ = 1 - m + 2 + m - 3 \] \[ = 0 \] 9. Vì \( m \geq 4 \), ta có: \[ -\frac{(m-2)^2}{4} + m - 3 \geq 0 \] \[ -\frac{(m-2)^2}{4} \geq -m + 3 \] \[ (m-2)^2 \leq 4(m-3) \] \[ m^2 - 4m + 4 \leq 4m - 12 \] \[ m^2 - 8m + 16 \leq 0 \] \[ (m-4)^2 \leq 0 \] \[ m = 4 \] 10. Vậy, với \( m \geq 4 \), ta có \( f(x) \geq 0 \) với mọi \( x \in (-\infty; 1] \). Do đó, nếu \( m \geq 4 \) thì \( x^2 - (m-2)x + m - 3 \geq 0 \) với mọi \( x \in (-\infty; 1] \). Bài 5: Giả sử $z=\min \{x,y,z\}$. Ta có: $xy+yz+xz+xyz=(x+y)(y+z)+xyz=z(x+y+z)+xy(1-z)=2z+xy(1-z).$ Từ đây ta có: $xy+yz+xz+xyz\leq 2z+\left(\frac{x+y}{2}\right)^2(1-z)=2z+\frac{(2-z)^2}{4}(1-z).$ Xét hàm số $f(t)=2t+\frac{(2-t)^2}{4}(1-t)$ trên đoạn $[0,1]$, ta có $f(t)\leq \frac{28}{27}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{4}{3}, z=\frac{2}{3}$.