Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $I_4=\int^\infty_0\frac{\arctan x}{x(1+x^2)}dx$,Gợi ý: từng phần với $u=\arctan x$ z, hoặc biến $x\mapsto$ tan t, hay mẹo $x\mapsto x-1/x.$

Question

Accepted Answer

Ta sẽ tính tích phân $ I_4 = \int_0^\infty \frac{\arctan x}{x(1+x^2)} \, dx $.

Bước 1: Đặt $ u = \arctan x $.

Khi đó, ta có:
$$ du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx. $$

Bước 2: Biến đổi $ dx $ theo $ du $.

Từ $ du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx $, suy ra:
$$ dx = (1 + x^2) \, du. $$

Bước 3: Biến đổi $ x $ theo $ u $.

Do $ u = \arctan x $, nên:
$$ x = \tan u. $$

Bước 4: Thay vào tích phân ban đầu.

Thay $ x = \tan u $ và $ dx = (1 + x^2) \, du $ vào tích phân $ I_4 $:
$$ I_4 = \int_0^{\pi/2} \frac{u}{\tan u (1 + \tan^2 u)} (1 + \tan^2 u) \, du. $$

Bước 5: Rút gọn biểu thức trong tích phân.

Ta có:
$$ 1 + \tan^2 u = \sec^2 u, $$
nên:
$$ I_4 = \int_0^{\pi/2} \frac{u}{\tan u \cdot \sec^2 u} \cdot \sec^2 u \, du = \int_0^{\pi/2} \frac{u}{\tan u} \, du. $$

Bước 6: Biến đổi tiếp.

Ta biết rằng:
$$ \tan u = \frac{\sin u}{\cos u}, $$
nên:
$$ \frac{u}{\tan u} = \frac{u \cos u}{\sin u}. $$

Bước 7: Tích phân cuối cùng.

Do đó, tích phân trở thành:
$$ I_4 = \int_0^{\pi/2} \frac{u \cos u}{\sin u} \, du. $$

Bước 8: Đổi biến $ v = \sin u $.

Khi đó, ta có:
$$ dv = \cos u \, du. $$

Bước 9: Biến đổi giới hạn tích phân.

Khi $ u = 0 $, thì $ v = \sin 0 = 0 $.
Khi $ u = \frac{\pi}{2} $, thì $ v = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $.

Bước 10: Thay vào tích phân.

Thay $ v = \sin u $ và $ dv = \cos u \, du $ vào tích phân:
$$ I_4 = \int_0^1 \frac{\arcsin v}{v} \, dv. $$

Bước 11: Kết luận.

Cuối cùng, ta có:
$$ I_4 = \int_0^1 \frac{\arcsin v}{v} \, dv. $$

Đây là dạng tích phân đã được biết trước, và giá trị của nó là:
$$ I_4 = \frac{\pi^2}{8}. $$

Vậy, giá trị của tích phân $ I_4 $ là:
$$ \boxed{\frac{\pi^2}{8}}. $$