Câu $\rm 25$. Câu 25: Tìm hệ số chứa $x^5$ trong khai triển $P(x)=x(1-2x)^n,$ biết $A^2_n-C^2_{n+1}=5.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 25:
Để tìm hệ số chứa $ x^5 $ trong khai triển $ P(x) = x(1 - 2x)^n $, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định $ n $ từ phương trình đã cho:
   $$
   A_n^2 - C_{n+1}^2 = 5
   $$
   Ta biết rằng:
   $$
   A_n^2 = n(n-1)
   $$
   và
   $$
   C_{n+1}^2 = \frac{(n+1)n}{2}
   $$
   Thay vào phương trình:
   $$
   n(n-1) - \frac{(n+1)n}{2} = 5
   $$
   Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số:
   $$
   2n(n-1) - (n+1)n = 10
   $$
   Mở rộng và đơn giản hóa:
   $$
   2n^2 - 2n - n^2 - n = 10
   $$
   $$
   n^2 - 3n - 10 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $$
   n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}
   $$
   Do đó:
   $$
   n = 5 \quad \text{hoặc} \quad n = -2
   $$
   Vì $ n $ phải là số tự nhiên, nên $ n = 5 $.

2. Khai triển $ (1 - 2x)^5 $ theo công thức nhị thức Newton:
   $$
   (1 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (-2x)^k
   $$
   Tìm hạng tử chứa $ x^4 $ (vì $ P(x) = x(1 - 2x)^5 $):
   $$
   C_5^4 (-2x)^4 = C_5^4 \cdot 16x^4
   $$
   Với:
   $$
   C_5^4 = 5
   $$
   Do đó:
   $$
   5 \cdot 16x^4 = 80x^4
   $$

3. Nhân với $ x $ để tìm hệ số của $ x^5 $:
   $$
   P(x) = x(1 - 2x)^5
   $$
   Hạng tử chứa $ x^5 $ sẽ là:
   $$
   x \cdot 80x^4 = 80x^5
   $$

Vậy hệ số chứa $ x^5 $ trong khai triển $ P(x) = x(1 - 2x)^5 $ là $ 80 $.