Câu $\rm 27$. Câu 27: Gọi T là tập giá trị của hàm số $y=\frac{2\cos x+1}{\cos x-2}.$ Khi đó ta có,$A.~T=[-1;3].$ $B.~T=[-3;1].$,$C.~T=[-\frac13;3].$ $D.~T=[-3;\frac13].$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 27:
Để tìm tập giá trị của hàm số $ y = \frac{2\cos x + 1}{\cos x - 2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt biến mới:
   Đặt $ t = \cos x $. Vì $ \cos x $ nằm trong khoảng $[-1, 1]$, nên $ t \in [-1, 1] $.

2. Biến đổi hàm số:
   Hàm số trở thành:
   $$
   y = \frac{2t + 1}{t - 2}
   $$

3. Tìm giá trị của $ y $:
   Ta cần tìm các giá trị có thể của $ y $ khi $ t $ thay đổi trong khoảng $[-1, 1]$.

4. Phân tích hàm số:
   Xét hàm số $ y = \frac{2t + 1}{t - 2} $:
   - Khi $ t $ tiến đến 2 từ bên trái, $ y $ tiến đến $-\infty$.
   - Khi $ t $ tiến đến 2 từ bên phải, $ y $ tiến đến $+\infty$.

Ta sẽ kiểm tra các giá trị cụ thể của $ t $ trong khoảng $[-1, 1]$:

- Khi $ t = -1 $:
     $$
     y = \frac{2(-1) + 1}{-1 - 2} = \frac{-2 + 1}{-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}
     $$

- Khi $ t = 0 $:
     $$
     y = \frac{2(0) + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}
     $$

- Khi $ t = 1 $:
     $$
     y = \frac{2(1) + 1}{1 - 2} = \frac{2 + 1}{-1} = \frac{3}{-1} = -3
     $$

5. Xác định khoảng giá trị:
   Từ các giá trị đã tính, ta thấy rằng $ y $ có thể nhận các giá trị từ $-3$ đến $\frac{1}{3}$.

6. Kết luận:
   Tập giá trị của hàm số $ y = \frac{2\cos x + 1}{\cos x - 2} $ là:
   $$
   T = \left[ -3, \frac{1}{3} \right]
   $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\boxed{D.~T = \left[ -3, \frac{1}{3} \right]}
$$