Giải hộ mình câu này với các bạn

Morning

a)

Vì n là tự nhiên, hai căn đều xác định.

Tổng hai căn là hữu tỉ chỉ khi mỗi căn đều hữu tỉ, tức n+2 và 4n+17 là bình phương của các số hữu tỉ.

Với n nguyên, để 4n+17 là bình phương hữu tỉ và đồng thời 4(n+2)=4n+8 cũng là bình phương hữu tỉ, ta xét hiệu:

(4n+17) − (4n+8) = 9.

Đặt n+2 = x², 4n+17 = y² với x,y ∈ Z (vì 4x² và y² cùng là bình phương hữu tỉ, hiệu 9 buộc y² và 4x² là bình phương nguyên). Khi đó:

y² − 4x² = 9

⇔ (y − 2x)(y + 2x) = 9.

Vì y + 2x > y − 2x ≥ 0, hai thừa số dương của 9 chỉ có thể là: 1 và 9; 3 và 3.

• Trường hợp y − 2x = 1, y + 2x = 9 ⇒ y = 5, x = 2 ⇒ n = x² − 2 = 2.

• Trường hợp y − 2x = 3, y + 2x = 3 ⇒ x = 0 ⇒ n = −2 (loại vì không tự nhiên).

Vậy n = 2. Khi đó √(n+2) + √(4n+17) = √4 + √25 = 2 + 5 = 7 (hữu tỉ).

b)

Gọi S = p² + 7q² − 32.

• Nếu q lẻ (q ≥ 3):

khi đó p cũng hoặc lẻ hoặc bằng 2.

– Nếu p lẻ: p² ≡ 1 (mod 8), q² ≡ 1 (mod 8) ⇒ S ≡ 1 + 7 − 0 ≡ 0 (mod 8), nên S chẵn và lớn hơn 2, không thể là số nguyên tố.

– Nếu p = 2: S = 4 + 7q² − 32 = 7(q² − 4), chia hết cho 7 và lớn hơn 7, không nguyên tố.

Vậy q không thể lẻ.

• Số nguyên tố chẵn duy nhất là q = 2:

S = p² + 28 − 32 = p² − 4 = (p − 2)(p + 2).

Để S là số nguyên tố, tích chỉ có thể là số nguyên tố khi một thừa số bằng 1:

– p − 2 = 1 ⇒ p = 3 ⇒ S = 5 (nguyên tố).

– p + 2 = 1 vô lý. Nếu p = 2 ⇒ S = 0; nếu p ≥ 5 thì S là hợp số.

Vậy, cặp duy nhất thỏa là (p, q) = (3, 2).