giúp em với ạ trả lời ngắn

Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) để thể tích của hộp không nắp là lớn nhất. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Vì mỗi hình vuông cắt ra có cạnh là \( x \), nên điều kiện là: - \( x > 0 \) (cạnh của hình vuông phải dương) - \( 12 - 2x > 0 \) (để phần còn lại của tấm nhôm vẫn có kích thước dương) Từ đó, ta có \( 0 < x < 6 \). Bước 2: Biểu thức thể tích của hộp Khi cắt bốn hình vuông ra và gập lại, kích thước của đáy hộp là \( (12 - 2x) \times (12 - 2x) \) và chiều cao của hộp là \( x \). Thể tích \( V \) của hộp là: \[ V = (12 - 2x)^2 \times x \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[ V(x) = (12 - 2x)^2 \times x \] Để tìm giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm của \( V(x) \) và tìm nghiệm của phương trình \( V'(x) = 0 \). \[ V(x) = (12 - 2x)^2 \times x = (144 - 48x + 4x^2) \times x = 144x - 48x^2 + 4x^3 \] Tính đạo hàm: \[ V'(x) = 144 - 96x + 12x^2 \] Giải phương trình \( V'(x) = 0 \): \[ 12x^2 - 96x + 144 = 0 \] Chia cả hai vế cho 12: \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \] \[ x_1 = 6, \quad x_2 = 2 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận Vì \( 0 < x < 6 \), nên chỉ có \( x = 2 \) là thỏa mãn điều kiện. Thể tích lớn nhất của hộp là: \[ V(2) = (12 - 2 \times 2)^2 \times 2 = 8^2 \times 2 = 128 \, \text{cm}^3 \] Vậy, giá trị lớn nhất của thể tích là \( 128 \, \text{cm}^3 \), đạt được khi \( x = 2 \). Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều rộng đáy mương sao cho tổng độ dài \( T = AB + BC + CD \) là ngắn nhất, với điều kiện diện tích mặt cắt ngang \( ABCD \) là \( 0,48 \, m^2 \). Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện - Gọi \( x \) là chiều rộng đáy mương \( BC \) (m). - Gọi \( h \) là chiều cao của mương \( AB \) và \( CD \) (m). Điều kiện: \( x < 1 \). Bước 2: Thiết lập phương trình Diện tích mặt cắt ngang là: \[ x \cdot h = 0,48 \] Suy ra: \[ h = \frac{0,48}{x} \] Tổng độ dài cần tối thiểu là: \[ T = AB + BC + CD = h + x + h = 2h + x \] Thay \( h = \frac{0,48}{x} \) vào biểu thức của \( T \): \[ T = 2\left(\frac{0,48}{x}\right) + x = \frac{0,96}{x} + x \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( T \) Xét hàm số: \[ f(x) = \frac{0,96}{x} + x \] Tính đạo hàm: \[ f'(x) = -\frac{0,96}{x^2} + 1 \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ -\frac{0,96}{x^2} + 1 = 0 \implies \frac{0,96}{x^2} = 1 \implies x^2 = 0,96 \implies x = \sqrt{0,96} \] Tính \( x \): \[ x \approx 0,98 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận Vì \( x < 1 \) và \( x \approx 0,98 \) thỏa mãn điều kiện, nên chiều rộng đáy mương tối ưu là \( x \approx 0,98 \, m \). Vậy, chiều rộng đáy mương cần thiết kế là \( 0,98 \, m \). Câu 5: Lượng NaOH ban đầu trong cốc là: \[ 25 \times 100 = 2500 \text{ mg} \] Sau khi thêm x ml dung dịch NaOH từ bình chứa, lượng NaOH trong cốc là: \[ 2500 + 9x \text{ mg} \] Tổng thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn là: \[ 25 + x \text{ ml} \] Do đó, nồng độ NaOH trong cốc sau khi trộn là: \[ C(x) = \frac{2500 + 9x}{25 + x} \text{ mg/ml} \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( \frac{2500 + 9x}{25 + x} \). Biến đổi biểu thức: \[ C(x) = \frac{2500 + 9x}{25 + x} = \frac{2500 + 9(25 + x) - 225}{25 + x} = \frac{2500 + 225 + 9(25 + x)}{25 + x} = \frac{2725 + 9(25 + x)}{25 + x} = \frac{2725}{25 + x} + 9 \] Nhận thấy rằng \( \frac{2725}{25 + x} \) luôn giảm khi x tăng, do đó \( \frac{2725}{25 + x} + 9 \) cũng luôn giảm khi x tăng. Giá trị lớn nhất của \( C(x) \) xảy ra khi \( x = 0 \): \[ C(0) = \frac{2725}{25} + 9 = 109 + 9 = 118 \text{ mg/ml} \] Kết luận: Giá trị lớn nhất của nồng độ NaOH trong cốc là 118 mg/ml, đạt được khi \( x = 0 \). Do đó, số \( a \) mà nồng độ NaOH luôn lớn hơn là 118 mg/ml. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần tìm thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều được tạo thành từ tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 10 cm. Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản - Tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh \( AB = BC = CD = DA = 10 \) cm. - Các điểm \( E, F, G, H \) lần lượt nằm trên các cạnh \( AB, BC, CD, DA \) sao cho các tam giác \( AEB, BFC, CGD, DHA \) là tam giác cân. Bước 2: Tính toán 1. Tìm tọa độ của các điểm: Giả sử \( O \) là tâm của hình vuông, tọa độ của \( O \) là \( (5, 5) \). 2. Tính độ dài các đoạn: - Độ dài \( AE = EB = BF = FC = CG = GD = DH = HA = x \). 3. Tính thể tích khối chóp: Khối chóp có đáy là hình vuông \( EFGH \) và đỉnh là \( A \). - Diện tích đáy \( EFGH \) là \( x^2 \). - Chiều cao \( AO \) của khối chóp có thể tính bằng công thức: \[ AO = \sqrt{AH^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} \] với \( AH = x \). 4. Thể tích khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] \[ V = \frac{1}{3} \times x^2 \times \sqrt{x^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} \] 5. Tối ưu hóa thể tích: Để tối ưu hóa thể tích, ta cần tìm giá trị \( x \) sao cho \( V \) đạt cực đại. - Tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và giải phương trình \( V'(x) = 0 \) để tìm giá trị \( x \). Bước 3: Tính toán cụ thể - Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị \( x \) tối ưu và thể tích lớn nhất của khối chóp. Kết quả Thể tích lớn nhất của khối chóp là \(\frac{100\sqrt{2}}{3}\) cm\(^3\). Vậy \( a = 100 \), \( b = 2 \), \( c = 3 \). Tính \( P = a + b + c = 100 + 2 + 3 = 105 \). Do đó, \( P = 105 \).