Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 4: Tìm m để mọi $x\in[0;+\infty)$ đều là nghiệm của bất phương trình,$(m^2-1)x^2-8mx+9-m^2\geq0$,$A.~m\in(-3;-1)$ $B.~m\in\{-3;-1\}$ $C.~m\in[-3;-1]$ $D.~m\in\emptyset$

Question

Timi · Accepted Answer

Bài 4:
Để mọi $ x \in [0; +\infty) $ đều là nghiệm của bất phương trình $ (m^2 - 1)x^2 - 8mx + 9 - m^2 \geq 0 $, ta cần đảm bảo rằng biểu thức này không âm trong khoảng này.

Trước tiên, ta xét trường hợp $ m^2 - 1 = 0 $:
- Nếu $ m^2 - 1 = 0 $, thì $ m = \pm 1 $.
- Thay $ m = 1 $ vào bất phương trình, ta có:
  $$
  (1^2 - 1)x^2 - 8(1)x + 9 - 1^2 = -8x + 8 \geq 0
  $$
  $$
  -8x + 8 \geq 0 \implies x \leq 1
  $$
  Điều này không thỏa mãn điều kiện $ x \in [0; +\infty) $.

- Thay $ m = -1 $ vào bất phương trình, ta có:
  $$
  ((-1)^2 - 1)x^2 - 8(-1)x + 9 - (-1)^2 = 8x + 8 \geq 0
  $$
  $$
  8x + 8 \geq 0 \implies x \geq -1
  $$
  Điều này cũng không thỏa mãn điều kiện $ x \in [0; +\infty) $.

Tiếp theo, ta xét trường hợp $ m^2 - 1 \neq 0 $:
- Ta cần đảm bảo rằng biểu thức $ (m^2 - 1)x^2 - 8mx + 9 - m^2 \geq 0 $ không âm trong khoảng $ x \in [0; +\infty) $.

Ta sẽ kiểm tra các giá trị $ m $ trong các đáp án đã cho:
- Đáp án A: $ m \in (-3; -1) $
  - Chọn $ m = -2 $:
    $$
    ((-2)^2 - 1)x^2 - 8(-2)x + 9 - (-2)^2 = 3x^2 + 16x + 5 \geq 0
    $$
    Biểu thức này luôn dương trong khoảng $ x \in [0; +\infty) $.

- Đáp án B: $ m \in \{-3; -1\} $
  - Chọn $ m = -3 $:
    $$
    ((-3)^2 - 1)x^2 - 8(-3)x + 9 - (-3)^2 = 8x^2 + 24x + 0 \geq 0
    $$
    Biểu thức này luôn dương trong khoảng $ x \in [0; +\infty) $.

- Chọn $ m = -1 $:
    $$
    ((-1)^2 - 1)x^2 - 8(-1)x + 9 - (-1)^2 = 0x^2 + 8x + 8 \geq 0
    $$
    Biểu thức này luôn dương trong khoảng $ x \in [0; +\infty) $.

- Đáp án C: $ m \in [-3; -1] $
  - Kiểm tra các giá trị $ m $ trong khoảng này, ta thấy biểu thức luôn dương trong khoảng $ x \in [0; +\infty) $.

- Đáp án D: $ m \in \emptyset $
  - Không có giá trị nào của $ m $ thỏa mãn điều kiện.

Vậy đáp án đúng là:
$$ 
\boxed{C.~m\in[-3;-1]}
$$