Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau:,$a)\left\{\begin{array}{l}-x^2+4x-7

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau:,$a)\left\{\begin{array}{l}-x^2+4x-7<0\x^2-2x-1\geq0\end{array}ight.$,$A.~T=(-\infty;1-\sqrt2]$ $B.~T=[1+\sqrt2;+\infty)$,$C.~T=(-\infty;1-\sqrt2]\cup[1+\sqrt2;+\infty)$ $D.~T=(1-\sqrt2;1+\sqrt2)$

Timi · Accepted Answer

Bài 4.97:
Để giải hệ bất phương trình sau:
$$ \left\{\begin{array}{l}-x^2+4x-7<0\x^2-2x-1\geq0\end{array}\right. $$

Bước 1: Giải bất phương trình $-x^2 + 4x - 7 < 0$

Xét phương trình $-x^2 + 4x - 7 = 0$:
$$ -x^2 + 4x - 7 = 0 $$
$$ x^2 - 4x + 7 = 0 $$

Tính biệt thức $\Delta$:
$$ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 $$

Vì $\Delta < 0$, phương trình $x^2 - 4x + 7 = 0$ vô nghiệm thực. Do đó, bất phương trình $-x^2 + 4x - 7 < 0$ luôn đúng với mọi $x$.

Bước 2: Giải bất phương trình $x^2 - 2x - 1 \geq 0$

Xét phương trình $x^2 - 2x - 1 = 0$:
$$ x^2 - 2x - 1 = 0 $$

Tính biệt thức $\Delta$:
$$ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $$

Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm thực:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} $$

Do đó, bất phương trình $x^2 - 2x - 1 \geq 0$ có nghiệm:
$$ x \leq 1 - \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1 + \sqrt{2} $$

Bước 3: Kết hợp nghiệm của cả hai bất phương trình

Vì bất phương trình $-x^2 + 4x - 7 < 0$ luôn đúng với mọi $x$, ta chỉ cần lấy nghiệm của bất phương trình $x^2 - 2x - 1 \geq 0$.

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là:
$$ T = (-\infty; 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}; +\infty) $$

Đáp án đúng là:
$$ C.~T=(-\infty;1-\sqrt{2}]\cup[1+\sqrt{2};+\infty) $$