Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1: a) $\left\{\begin{array}{l}2x+y=2\\3x-y=-7\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế hai phương trình ta được: $(2x + y) + (3x - y) = 2 + (-7)$ $5x = -5$ $x = -1$ Thay $x = -1$ vào phương trình đầu tiên ta được: $2(-1) + y = 2$ $-2 + y = 2$ $y = 4$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (-1, 4)$. b) $\left\{\begin{array}{l}\frac1{x-y}+\frac4x=-\frac{17}{15}\\\frac5{x-y}-\frac6y=3\end{array}\right.$ Điều kiện xác định: $x \neq y$, $y \neq 0$. Đặt $u = \frac{1}{x-y}$ và $v = \frac{1}{x}$. Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}u + 4v = -\frac{17}{15}\\5u - \frac{6}{y} = 3\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 5: $\left\{\begin{array}{l}5u + 20v = -\frac{85}{15}\\5u - \frac{6}{y} = 3\end{array}\right.$ Trừ vế theo vế hai phương trình: $(5u + 20v) - (5u - \frac{6}{y}) = -\frac{85}{15} - 3$ $20v + \frac{6}{y} = -\frac{85}{15} - 3$ $20v + \frac{6}{y} = -\frac{85}{15} - \frac{45}{15}$ $20v + \frac{6}{y} = -\frac{130}{15}$ $20v + \frac{6}{y} = -\frac{26}{3}$ Nhân phương trình thứ hai với 20: $\left\{\begin{array}{l}100u + 80v = -\frac{170}{15}\\100u - \frac{120}{y} = 60\end{array}\right.$ Trừ vế theo vế hai phương trình: $(100u + 80v) - (100u - \frac{120}{y}) = -\frac{170}{15} - 60$ $80v + \frac{120}{y} = -\frac{170}{15} - 60$ $80v + \frac{120}{y} = -\frac{170}{15} - \frac{900}{15}$ $80v + \frac{120}{y} = -\frac{1070}{15}$ $80v + \frac{120}{y} = -\frac{214}{3}$ Chia phương trình cuối cùng cho 40: $v + \frac{3}{y} = -\frac{107}{15}$ $v + \frac{3}{y} = -\frac{107}{15}$ So sánh với phương trình $20v + \frac{6}{y} = -\frac{26}{3}$: $20v + \frac{6}{y} = -\frac{26}{3}$ $20(v + \frac{3}{y}) = -\frac{26}{3}$ $20(-\frac{107}{15}) = -\frac{26}{3}$ $-\frac{2140}{15} = -\frac{26}{3}$ $-\frac{2140}{15} = -\frac{26}{3}$ Vậy $v = -\frac{107}{15}$ và $u = -\frac{107}{15}$. Quay lại biến ban đầu: $\frac{1}{x} = -\frac{107}{15}$ $x = -\frac{15}{107}$ $\frac{1}{x-y} = -\frac{107}{15}$ $x-y = -\frac{15}{107}$ $-\frac{15}{107} - y = -\frac{15}{107}$ $y = 0$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (-\frac{15}{107}, 0)$. Bài 2: 1. Phương trình $3x-4y=m-1$ (m là tham số): a) Tìm m để cặp số $(2;-1)$ là một nghiệm của phương trình. Thay $x = 2$ và $y = -1$ vào phương trình: \[ 3(2) - 4(-1) = m - 1 \] \[ 6 + 4 = m - 1 \] \[ 10 = m - 1 \] \[ m = 11 \] Vậy, $m = 11$ để cặp số $(2;-1)$ là một nghiệm của phương trình. b) Với $m = 11$, phương trình trở thành: \[ 3x - 4y = 10 \] Biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy: Phương trình $3x - 4y = 10$ là phương trình của một đường thẳng. Để vẽ đường thẳng này, ta cần tìm hai điểm thuộc đường thẳng. - Khi $x = 0$, ta có: \[ 3(0) - 4y = 10 \Rightarrow -4y = 10 \Rightarrow y = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \] Điểm $(0; -\frac{5}{2})$ thuộc đường thẳng. - Khi $y = 0$, ta có: \[ 3x - 4(0) = 10 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3} \] Điểm $(\frac{10}{3}; 0)$ thuộc đường thẳng. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm $(0; -\frac{5}{2})$ và $(\frac{10}{3}; 0)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Phương trình bậc nhất hai ẩn cho hai khoản đầu tư của cô Nguyệt: Gọi $x$ (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất 6% và $y$ (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất 8%, với $x > 0$ và $y > 0$. Tiền lãi từ khoản đầu tư với lãi suất 6% là $0.06x$ triệu đồng. Tiền lãi từ khoản đầu tư với lãi suất 8% là $0.08y$ triệu đồng. Tổng tiền lãi từ hai khoản đầu tư là 150 triệu đồng: \[ 0.06x + 0.08y = 150 \] Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn cho hai khoản đầu tư của cô Nguyệt. 3. Tính diện tích của tam giác ABC: Cho tam giác $ABC$ có $A = 30^\circ$, $AB = 3~cm$, $AC = 4~cm$. Diện tích tam giác $ABC$ được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A \] Với $A = 30^\circ$, ta có $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{1}{2} = 3~cm^2 \] Vậy, diện tích của tam giác $ABC$ là $3~cm^2$. Bài 3: Để giải bài toán này, ta cần tính vận tốc của bạn Dũng và bạn Trang. Gọi vận tốc của bạn Dũng là \( v_1 \) (km/h) và vận tốc của bạn Trang là \( v_2 \) (km/h). Bước 1: Sử dụng thông tin lần gặp đầu tiên - Bạn Dũng đi được 1 giờ 30 phút, tức là 1.5 giờ. - Bạn Trang đi được 2 giờ. Khi hai bạn gặp nhau, tổng quãng đường hai bạn đã đi là 38 km. Ta có phương trình: \[ 1.5v_1 + 2v_2 = 38 \] Bước 2: Sử dụng thông tin lần gặp thứ hai - Sau 1 giờ 15 phút, tức là 1.25 giờ, hai bạn còn cách nhau 10.5 km. Ta có phương trình: \[ 1.25v_1 + 1.25v_2 = 38 - 10.5 \] Từ đó, ta có: \[ 1.25v_1 + 1.25v_2 = 27.5 \] Bước 3: Giải hệ phương trình Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ v_1 + v_2 = \frac{27.5}{1.25} = 22 \] Giải hệ phương trình: 1. \( 1.5v_1 + 2v_2 = 38 \) 2. \( v_1 + v_2 = 22 \) Từ phương trình (2), ta có: \[ v_1 = 22 - v_2 \] Thay vào phương trình (1): \[ 1.5(22 - v_2) + 2v_2 = 38 \] \[ 33 - 1.5v_2 + 2v_2 = 38 \] \[ 0.5v_2 = 5 \] \[ v_2 = 10 \] Thay \( v_2 = 10 \) vào phương trình (2): \[ v_1 + 10 = 22 \] \[ v_1 = 12 \] Kết luận Vận tốc của bạn Dũng là 12 km/h và vận tốc của bạn Trang là 10 km/h. Bài 4: 1. Để tính chiều cao của cây, ta sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông. Gọi chiều cao của cây là \( h \). Theo đề bài, tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc \( 35^\circ \), do đó ta có: \[ \tan(35^\circ) = \frac{h}{22} \] Từ đó, ta có: \[ h = 22 \times \tan(35^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\tan(35^\circ)\), ta có: \[ h \approx 22 \times 0.7002 \approx 15.4 \] Làm tròn đến hàng đơn vị, chiều cao của cây là \( 15 \) m. 2. Cho tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( H \). a) Chứng minh \( AE \cdot BD = AD \cdot CE \). - Trong tam giác vuông \( ABE \) và \( ACD \), ta có: \[ \frac{AE}{AD} = \frac{BE}{CD} \] - Trong tam giác vuông \( BHD \) và \( CHE \), ta có: \[ \frac{BD}{CE} = \frac{BE}{CD} \] - Từ hai tỉ lệ trên, suy ra: \[ \frac{AE}{AD} = \frac{BD}{CE} \] - Do đó, \( AE \cdot BD = AD \cdot CE \). b) Chứng minh tứ giác \( BHCK \) là hình bình hành và \(\widehat{BAH} = \widehat{CAK}\). - Do \( BK \perp AB \) và \( CK \perp AC \), nên \( BK \parallel CH \) và \( BH \parallel CK \). - Tứ giác \( BHCK \) có hai cặp cạnh đối song song, nên là hình bình hành. - Xét tam giác \( ABH \) và \( ACK \), ta có: \[ \widehat{ABH} = \widehat{ACK} = 90^\circ \] - Do đó, \(\widehat{BAH} = \widehat{CAK}\). c) Chứng minh \( AO \) đi qua trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( MN \). - Gọi \( O \) là giao điểm của \( BC \) và \( HK \). - Đoạn thẳng \( AH \) cắt \( ED \) tại \( M \) và đoạn thẳng \( AK \) cắt \( BC \) tại \( N \). - Do \( BHCK \) là hình bình hành, nên \( O \) là trung điểm của \( HK \). - Theo tính chất của hình bình hành, \( AO \) là đường trung bình của tam giác \( AMN \), do đó \( AO \) đi qua trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( MN \). Bài 5: Ta có: $(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})=-2$ $\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{z^2+x^2}{zx}=-2$ $\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{xy}+1+\frac{y^2+z^2}{yz}+1+\frac{z^2+x^2}{zx}+1=-2+3$ $\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{xy}+\frac{(y+z)^2}{yz}+\frac{(z+x)^2}{zx}=1$ $\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}.\frac{x+y}{x}+\frac{y+z}{x}.\frac{y+z}{y}+\frac{z+x}{y}.\frac{z+x}{z}=1$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.