Giải phương trình.

Để giải phương trình \(2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng công thức lượng giác để đơn giản hóa các biểu thức: - Công thức \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos x + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) \] Do đó: \[ \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x)\right)^2 = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x)^2 = \frac{1}{2}(\cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x) \] 2. Thay các biểu thức đã đơn giản hóa vào phương trình ban đầu: \[ 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x) + \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \] \[ (\cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x) + \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \] 3. Sử dụng công thức \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\) và \(\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2}\): \[ 1 + 2\cos x \sin x + \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 4 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} - 1 \] \[ 1 + 2\cos x \sin x + \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 2(1 + \cos x) - 1 \] \[ 1 + 2\cos x \sin x + \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 2 + 2\cos x - 1 \] \[ 1 + 2\cos x \sin x + \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\sin^2 x + 1 + 2\cos x \] 4. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 2\cos x \sin x + \sqrt{3}\cos^2 x - \sqrt{3}\sin^2 x - 2\cos x = 0 \] 5. Nhóm các hạng tử chung: \[ 2\cos x \sin x + \sqrt{3}(\cos^2 x - \sin^2 x) - 2\cos x = 0 \] \[ 2\cos x \sin x + \sqrt{3}\cos 2x - 2\cos x = 0 \] 6. Phân tích thành nhân tử: \[ \cos x (2\sin x + \sqrt{3}\cos x - 2) = 0 \] 7. Giải các phương trình con: - \(\cos x = 0\): \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] - \(2\sin x + \sqrt{3}\cos x - 2 = 0\): \[ 2\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1 \] Đặt \(t = \tan x\), ta có: \[ \sin x = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \] Thay vào phương trình: \[ \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} = 1 \] \[ \frac{t + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1 + t^2}} = 1 \] \[ t + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{1 + t^2} \] Bình phương cả hai vế: \[ \left(t + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + t^2 \] \[ t^2 + \sqrt{3}t + \frac{3}{4} = 1 + t^2 \] \[ \sqrt{3}t + \frac{3}{4} = 1 \] \[ \sqrt{3}t = \frac{1}{4} \] \[ t = \frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{12} \] Do đó: \[ x = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{12}\right) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Kết luận: Các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{12}\right) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]