Bài 11. Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB bằng 2 lần đáy nhỏ CD. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E. 1) Chứng minh: tứ giác AMCD và tứ giác BCDM là hình bình hàn...

Bài 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. 1) Chứng minh: tứ giác AMCD và tứ giác BCDM là hình bình hành. - Tứ giác AMCD: - Gọi M là trung điểm của AB, do đó \(AM = MB\). - Theo giả thiết, \(AB = 2 \times CD\), do đó \(AM = MB = CD\). - Trong tứ giác AMCD, ta có \(AM = CD\) và \(MC = AD\) (vì M là trung điểm của AB và AB song song với CD). - Do đó, tứ giác AMCD có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AMCD là hình bình hành. - Tứ giác BCDM: - Tương tự, trong tứ giác BCDM, ta có \(MB = CD\) và \(BC = DM\) (vì M là trung điểm của AB và AB song song với CD). - Do đó, tứ giác BCDM có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên BCDM là hình bình hành. 2) Chứng minh: \(\angle ADMA = \angle ECD\) và \(AD = DE\). - Chứng minh \(\angle ADMA = \angle ECD\): - Vì AMCD là hình bình hành, nên \(\angle ADMA = \angle MCD\). - Do BCDM cũng là hình bình hành, nên \(\angle MCD = \angle ECD\). - Từ đó suy ra \(\angle ADMA = \angle ECD\). - Chứng minh \(AD = DE\): - Vì AMCD là hình bình hành, nên \(AD = MC\). - Vì BCDM là hình bình hành, nên \(MC = DE\). - Từ đó suy ra \(AD = DE\). 3) Chứng minh: C là trung điểm của đoạn BE. - Từ phần 2, ta đã chứng minh \(AD = DE\). - Trong tam giác ADE, vì \(AD = DE\) và \(C\) nằm trên đường thẳng nối \(D\) và \(E\), nên \(C\) là trung điểm của \(BE\). Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.