Gọi C là đồ thị hàm số của y = lnx và D là một tiếp tuyến bất kì của C. chứng minh rằng trên (0; +∞), C nằm ở phía dưới của đường thẳng D.

Để chứng minh rằng trên khoảng \((0; +\infty)\), đồ thị hàm số \(y = \ln x\) nằm dưới mọi tiếp tuyến của nó, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\): Đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) là: \[ y' = \frac{1}{x} \] 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(x_0\): Giả sử \(x_0\) là một điểm bất kỳ thuộc khoảng \((0; +\infty)\). Tại điểm này, giá trị của hàm số là \(y_0 = \ln x_0\) và hệ số góc của tiếp tuyến là \(y' = \frac{1}{x_0}\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(x_0\) là: \[ y = \ln x_0 + \frac{1}{x_0}(x - x_0) \] 3. So sánh giá trị của hàm số và tiếp tuyến: Ta cần chứng minh rằng với mọi \(x > 0\), ta có: \[ \ln x < \ln x_0 + \frac{1}{x_0}(x - x_0) \] Điều này tương đương với việc chứng minh: \[ \ln x - \ln x_0 < \frac{x - x_0}{x_0} \] Hay: \[ \ln \frac{x}{x_0} < \frac{x - x_0}{x_0} \] 4. Sử dụng bất đẳng thức logarit: Bất đẳng thức \(\ln t < t - 1\) với \(t > 0\) và \(t \neq 1\) là một bất đẳng thức cơ bản trong giải tích. Đặt \(t = \frac{x}{x_0}\), ta có: \[ \ln \frac{x}{x_0} < \frac{x}{x_0} - 1 \] Nhân cả hai vế với \(x_0\), ta được: \[ x_0 \ln \frac{x}{x_0} < x - x_0 \] Chia cả hai vế cho \(x_0\), ta có: \[ \ln \frac{x}{x_0} < \frac{x - x_0}{x_0} \] Điều này chứng minh rằng: \[ \ln x < \ln x_0 + \frac{1}{x_0}(x - x_0) \] 5. Kết luận: Trên khoảng \((0; +\infty)\), đồ thị của hàm số \(y = \ln x\) luôn nằm dưới mọi tiếp tuyến của nó.