Tìm a,b biết $(x^3+ax+b)$ chia hết cho $(x^2-1)$

Để đa thức \(x^3 + ax + b\) chia hết cho đa thức \(x^2 - 1\), ta cần thực hiện phép chia đa thức và đảm bảo phần dư bằng 0. Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức \(x^3 + ax + b\) cho \(x^2 - 1\). Ta có: \[ x^3 + ax + b = (x^2 - 1) \cdot Q(x) + R(x) \] Trong đó, \(Q(x)\) là thương và \(R(x)\) là phần dư. Vì \(x^2 - 1\) là đa thức bậc 2, nên phần dư \(R(x)\) sẽ là đa thức bậc nhỏ hơn 2, tức là \(R(x) = cx + d\). Bước 2: Tìm thương \(Q(x)\) và phần dư \(R(x)\). Thực hiện phép chia: \[ x^3 + ax + b = (x^2 - 1)(x + k) + cx + d \] Phân tích: \[ x^3 + ax + b = x^3 + kx^2 - x - k + cx + d \] So sánh các hệ số tương ứng: \[ x^3 + ax + b = x^3 + kx^2 + (c-1)x + (d-k) \] Do đó: \[ kx^2 = 0 \quad \text{(vì không có hạng tử \(x^2\) trong \(x^3 + ax + b\))} \] \[ k = 0 \] Tiếp tục so sánh: \[ (c-1)x = ax \] \[ c - 1 = a \] \[ c = a + 1 \] Cuối cùng: \[ d - k = b \] \[ d = b \] Bước 3: Đặt \(k = 0\), ta có: \[ x^3 + ax + b = (x^2 - 1)x + (a+1)x + b \] Phần dư \(R(x)\) phải bằng 0: \[ (a+1)x + b = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ a + 1 = 0 \quad \text{và} \quad b = 0 \] Vậy: \[ a = -1 \] \[ b = 0 \] Kết luận: Giá trị của \(a\) và \(b\) là: \[ a = -1 \] \[ b = 0 \]