Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC gọi O là giao điểm của DE và AH, K là trung điểm của HC Chứng minh rằng BO vuông góc với AK v...

Để giải bài toán này, chúng ta cần chứng minh hai điều: \(BO\) vuông góc với \(AK\) và \(\frac{HE}{AB} + \frac{DH}{AC} = 1\). Bước 1: Chứng minh \(BO\) vuông góc với \(AK\) 1. Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). 2. Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(AB\) và \(AC\). Do đó, \(HD \perp AB\) và \(HE \perp AC\). 3. Gọi \(O\) là giao điểm của \(DE\) và \(AH\). 4. Gọi \(K\) là trung điểm của \(HC\). Để chứng minh \(BO \perp AK\), ta cần chứng minh rằng \(BO\) và \(AK\) là hai đường thẳng vuông góc. - Do \(D\) và \(E\) là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(AB\) và \(AC\), nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(AHC\). - Do đó, \(O\) là trung điểm của \(AH\). - \(K\) là trung điểm của \(HC\), nên \(AK\) là đường trung bình của tam giác \(AHC\). Vì \(O\) là trung điểm của \(AH\) và \(K\) là trung điểm của \(HC\), nên \(AK\) là đường trung bình của tam giác \(AHC\), do đó \(AK \parallel DE\). - Vì \(DE\) là đường trung bình của tam giác vuông \(AHC\), nên \(DE \perp BO\). Từ đó, suy ra \(BO \perp AK\). Bước 2: Chứng minh \(\frac{HE}{AB} + \frac{DH}{AC} = 1\) 1. Xét tam giác \(AHB\) và \(AHC\), ta có: - \(HE \perp AC\) và \(DH \perp AB\). - Do đó, \(HE\) và \(DH\) là các đoạn thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác vuông \(ABC\). 2. Sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác vuông, ta có: - \(\frac{HE}{AB} = \frac{AH}{AC}\) - \(\frac{DH}{AC} = \frac{AH}{AB}\) 3. Cộng hai đẳng thức trên, ta có: \[ \frac{HE}{AB} + \frac{DH}{AC} = \frac{AH}{AC} + \frac{AH}{AB} \] 4. Do \(AH\) là đường cao trong tam giác vuông \(ABC\), ta có: \[ \frac{AH}{AC} + \frac{AH}{AB} = 1 \] Vậy, \(\frac{HE}{AB} + \frac{DH}{AC} = 1\). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai điều cần chứng minh.