Tính đạo hàm

Đáp án chi tiết a) \( y = \frac{x+1}{x-2} \) Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x+1)'(x-2) - (x+1)(x-2)'}{(x-2)^2} \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (x+1)' = 1 \] \[ (x-2)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} \] \[ y' = \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2} \] \[ y' = \frac{-3}{(x-2)^2} \] b) \( y = x \cdot e^x \) Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (x)' = 1 \] \[ (e^x)' = e^x \] Thay vào công thức: \[ y' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x \] \[ y' = e^x + x \cdot e^x \] \[ y' = e^x (1 + x) \] c) \( y = x^2 \cdot \sin x \) Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (x^2)' = 2x \] \[ (\sin x)' = \cos x \] Thay vào công thức: \[ y' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x \] d) \( y = \sqrt{x^2 + 1} \) Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \] Sử dụng công thức đạo hàm của lũy thừa: \[ y' = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x^2 + 1)' \] Tính đạo hàm của \( x^2 + 1 \): \[ (x^2 + 1)' = 2x \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \] \[ y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]