giải hộ 8 câu này

Câu 1: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( f(x) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Dựa vào bảng xét dấu của \( f'(x) \): - Trên khoảng \((- \infty, -3)\), \( f'(x) > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Tại \( x = -3 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((-3, 1)\), \( f'(x) > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Tại \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((1, +\infty)\), \( f'(x) < 0 \) nên hàm số nghịch biến. Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((1, +\infty)\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~(2;+\infty)\). Câu 2: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = f(x) \) đồng biến, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = 12x^{2025}(x+1)(3-x) \] Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 12x^{2025}(x+1)(3-x) = 0 \] Phương trình này có nghiệm khi: \[ x^{2025} = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3 - x = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Như vậy, các điểm tới hạn là \( x = -1 \), \( x = 0 \), và \( x = 3 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn này: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 3) \), và \( (3, +\infty) \). 1. Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): - Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 12(-2)^{2025}((-2)+1)(3-(-2)) = 12(-2)^{2025}(-1)(5) \] Vì \( (-2)^{2025} \) là âm (vì lũy thừa lẻ của số âm là âm), nên: \[ f'(-2) = 12 \cdot (-\text{âm}) \cdot (-1) \cdot 5 = 12 \cdot (\text{dương}) \cdot 5 = \text{dương} \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). 2. Trên khoảng \( (-1, 0) \): - Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = 12(-0.5)^{2025}((-0.5)+1)(3-(-0.5)) = 12(-0.5)^{2025}(0.5)(3.5) \] Vì \( (-0.5)^{2025} \) là âm (vì lũy thừa lẻ của số âm là âm), nên: \[ f'(-0.5) = 12 \cdot (-\text{âm}) \cdot 0.5 \cdot 3.5 = 12 \cdot (\text{dương}) \cdot 3.5 = \text{dương} \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-1, 0) \). 3. Trên khoảng \( (0, 3) \): - Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = 12(1)^{2025}(1+1)(3-1) = 12(1)(2)(2) = 48 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (0, 3) \). 4. Trên khoảng \( (3, +\infty) \): - Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = 12(4)^{2025}(4+1)(3-4) = 12(4)^{2025}(5)(-1) \] Vì \( (4)^{2025} \) là dương, nên: \[ f'(4) = 12 \cdot (\text{dương}) \cdot 5 \cdot (-1) = 12 \cdot (\text{dương}) \cdot (-1) = \text{âm} \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (3, +\infty) \). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 0) \), và \( (0, 3) \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng này. Trong các lựa chọn đã cho, khoảng mà hàm số đồng biến là: \[ B.~(-1;3) \] Câu 3: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong khoảng đã cho. Giá trị nhỏ nhất trong khoảng là 150 g (đầu tiên của khoảng $[150;155)$). Giá trị lớn nhất trong khoảng là 175 g (cuối cùng của khoảng $[170;175)$). Do đó, khoảng biến thiên R là: \[ R = 175 - 150 = 25 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~R=25. \] Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\) dựa vào đồ thị. 1. Xác định giá trị lớn nhất (M): - Quan sát đồ thị, ta thấy điểm cao nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 3]\) là tại \( x = 0 \) với \( y = 3 \). - Do đó, giá trị lớn nhất \( M = 3 \). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất (m): - Quan sát đồ thị, ta thấy điểm thấp nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 3]\) là tại \( x = 3 \) với \( y = -2 \). - Do đó, giá trị nhỏ nhất \( m = -2 \). 3. Tính \( M - m \): - \( M - m = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \). Vậy, giá trị \( M - m \) bằng 5. Đáp án đúng là D. 5. Câu 5: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = (x-3)^2 e^x \) trên đoạn \([2, 4]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = (x-3)^2 e^x \] Áp dụng quy tắc nhân: \[ y' = \frac{d}{dx}[(x-3)^2] \cdot e^x + (x-3)^2 \cdot \frac{d}{dx}[e^x] \] \[ y' = 2(x-3)e^x + (x-3)^2 e^x \] \[ y' = e^x [2(x-3) + (x-3)^2] \] \[ y' = e^x [(x-3)(2 + x - 3)] \] \[ y' = e^x (x-3)(x-1) \] 2. Tìm các điểm tới hạn: Đặt \( y' = 0 \): \[ e^x (x-3)(x-1) = 0 \] Vì \( e^x \neq 0 \) nên: \[ (x-3)(x-1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Trong đoạn \([2, 4]\), chỉ có \( x = 3 \) nằm trong khoảng này. 3. Đánh giá hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = (2-3)^2 e^2 = 1 \cdot e^2 = e^2 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = (3-3)^2 e^3 = 0 \cdot e^3 = 0 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = (4-3)^2 e^4 = 1 \cdot e^4 = e^4 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: \[ y(2) = e^2 \] \[ y(3) = 0 \] \[ y(4) = e^4 \] Trong đó, \( e^4 \) là giá trị lớn nhất. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( y = (x-3)^2 e^x \) trên đoạn \([2, 4]\) là \( e^4 \). Đáp án đúng là: \( D.~e^4 \). Câu 6: Trước tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{1}{x + 1 + \ln x} \). Đặt \( u = x + 1 + \ln x \). Khi đó, \( y = \frac{1}{u} \). Ta có: \[ u' = 1 + \frac{1}{x} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số \( y = \frac{1}{u} \): \[ y' = -\frac{u'}{u^2} \] Thay \( u \) và \( u' \) vào: \[ y' = -\frac{1 + \frac{1}{x}}{(x + 1 + \ln x)^2} \] Tiếp theo, ta cần tính \( -\frac{y'}{y^2} \): \[ y^2 = \left( \frac{1}{x + 1 + \ln x} \right)^2 = \frac{1}{(x + 1 + \ln x)^2} \] Do đó: \[ -\frac{y'}{y^2} = -\frac{-\frac{1 + \frac{1}{x}}{(x + 1 + \ln x)^2}}{\frac{1}{(x + 1 + \ln x)^2}} = 1 + \frac{1}{x} \] Vậy: \[ -\frac{y'}{y^2} = 1 + \frac{1}{x} \] Đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{x} + 1 \] Câu 7: Để xác định tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích bảng biến thiên đã cho. 1. Đường tiệm cận đứng: - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to 1^- \), \( y \to +\infty \) và khi \( x \to 1^+ \), \( y \to -\infty \). Điều này cho thấy \( x = 1 \) là đường tiệm cận đứng. 2. Đường tiệm cận ngang: - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 1 \). Điều này cho thấy có một đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to -1 \). Điều này cho thấy có một đường tiệm cận ngang khác là \( y = -1 \). Tổng kết lại, đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang. Vậy tổng số đường tiệm cận là \( 1 + 2 = 3 \). Đáp án đúng là D. 3. Câu 8: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x-1}{x+1} \) tại \( x_0 = 3 \), chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức. Bước 1: Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 2x - 1 \) - \( v = x + 1 \) Bước 2: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 2 \] \[ v' = 1 \] Bước 3: Thay vào công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2)(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{3}{(x+1)^2} \] Bước 5: Thay \( x_0 = 3 \) vào đạo hàm đã tìm được: \[ y'(3) = \frac{3}{(3+1)^2} \] \[ y'(3) = \frac{3}{4^2} \] \[ y'(3) = \frac{3}{16} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x-1}{x+1} \) tại \( x_0 = 3 \) là \( \frac{3}{16} \). Đáp án đúng là: \( D.~\frac{3}{16} \).