Giúp mình với!

Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông, hình chữ nhật, và các đường trung trực, đường cao trong tam giác. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của các bài toán: Bài toán 1: Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Kẻ $AH \bot BC$, $HM \bot AB$, $HN \bot AC$. 1) Chứng minh $AH = MN$: - Do $AH \bot BC$, $HM \bot AB$, $HN \bot AC$, ta có tứ giác $AHMN$ là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông). - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau, do đó $AH = MN$. 2) Chứng minh $\widehat{MNH} = \widehat{HCN}$: - Do $AHMN$ là hình chữ nhật, nên $\widehat{MNH} = 90^\circ$. - Vì $HN \bot AC$, nên $\widehat{HCN} = 90^\circ$. - Do đó, $\widehat{MNH} = \widehat{HCN}$. 3) Gọi $I$ là trung điểm của $BH$. Chứng minh $MI \bot MN$: - Vì $I$ là trung điểm của $BH$, $MI$ là đường trung bình trong tam giác $BMH$. - Do $HM \bot AB$, $MI$ cũng vuông góc với $MN$ (vì $MN$ song song với $AB$). 4) Gọi $J$ là trung điểm của $BC$, $MN$ cắt $BC$ tại $S$ và cắt $AH$ tại $O$. Chứng minh $IO \bot AS$: - $J$ là trung điểm của $BC$, nên $IO$ là đường trung bình của tam giác $BHC$. - $AS$ là đường cao từ $A$ đến $BC$, do đó $IO \bot AS$. Bài toán 2: Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $DH \bot AC$ tại $H$, $HE \bot AD$, $HF \bot DC$. 1) Chứng minh $EF = DH$: - Tứ giác $HEHF$ là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông). - Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau, do đó $EF = DH$. 2) Chứng minh $\widehat{BAC} = \widehat{EFH}$: - Do $HE \bot AD$ và $HF \bot DC$, tứ giác $HEHF$ là hình chữ nhật. - $\widehat{EFH} = 90^\circ - \widehat{EHF}$. - $\widehat{BAC} = 90^\circ - \widehat{DAC}$ (vì $AC$ là đường chéo của hình chữ nhật). - Do đó, $\widehat{BAC} = \widehat{EFH}$. 3) Chứng minh $DB \bot EF$: - $DB$ là đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$, do đó $DB \bot AC$. - $EF$ là đường chéo của hình chữ nhật $HEHF$, do đó $EF \bot DH$. - Vì $DH \parallel AC$, nên $DB \bot EF$. 4) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$, $S$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $DI \bot IS$: - $I$ là trung điểm của $AH$, $S$ là trung điểm của $BC$. - $DI$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. - $IS$ là đường trung bình của tam giác $BHC$. - Do đó, $DI \bot IS$. Bài toán 3: Cho tam giác nhọn $\Delta ABC$ với các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ và $M$ là trung điểm của $AH$ và $BC$. a) Chứng minh $IM$ là đường trung bình của $EF$: - $I$ là trung điểm của $AH$, $M$ là trung điểm của $BC$. - $IM$ là đường trung bình của tam giác $AEF$. b) Chứng minh $IE \bot FM$: - $IE$ là đường trung bình của tam giác $AEF$. - $FM$ là đường trung bình của tam giác $BFC$. - Do đó, $IE \bot FM$. c) Gọi $O$ là giao điểm của đường trung trực của $BC$ và $AB$. Chứng minh $AH = 2OM$: - $O$ là trung điểm của $BC$, $OM$ là đường trung bình của tam giác $BHC$. - $AH$ là đường cao từ $A$ đến $BC$. - Do đó, $AH = 2OM$. Hy vọng lời giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về các bài toán hình học này!