giúp tôi vs

Bài 15: Ta có: \( R = x^2 + 2y^2 + 2xy - 2y \) Nhóm các hạng tử để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất: \[ R = (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 - 2y) \] Viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ R = (x + y)^2 + (y^2 - 2y) \] Bây giờ ta sẽ viết \( y^2 - 2y \) dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 \] Thay vào biểu thức trên: \[ R = (x + y)^2 + (y - 1)^2 - 1 \] Do tính chất của bình phương, ta có: \[ (x + y)^2 \geq 0 \] \[ (y - 1)^2 \geq 0 \] Từ đây suy ra: \[ R \geq -1 \] Dấu bằng xảy ra khi: \[ (x + y)^2 = 0 \quad \text{và} \quad (y - 1)^2 = 0 \] Tức là: \[ x + y = 0 \quad \text{và} \quad y - 1 = 0 \] Giải hệ này: \[ y = 1 \] \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( R \) là \(-1\), đạt được khi \( x = -1 \) và \( y = 1 \). Bài 16: Ta có: \[A=4x^2+5y^2-4xy-16y+32\] \[=4x^2-4xy+y^2+4y^2-16y+32\] \[=(2x-y)^2+(2y-4)^2+16.\] Do $(2x-y)^2 \geq 0$ và $(2y-4)^2 \geq 0$, nên $A \geq 16$. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $2x-y = 0$ và $2y-4 = 0$. Giải hệ phương trình này ta được $x = 2$ và $y = 2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là 16, đạt được khi $x = 2$ và $y = 2$. Bài 17: Ta có: \[ B = x^2 + 5y^2 + 5z^2 - 4xy - 4yz - 4z + 12 \] Nhóm các hạng tử để dễ dàng biến đổi: \[ B = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 + z^2 - 4yz + 4z^2) - 4z + 12 \] Biến đổi tiếp: \[ B = (x - 2y)^2 + (y - 2z)^2 + 4z^2 - 4z + 12 \] Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \(z\): \[ B = (x - 2y)^2 + (y - 2z)^2 + 4(z^2 - z) + 12 \] Hoàn thiện bình phương cho \(z\): \[ B = (x - 2y)^2 + (y - 2z)^2 + 4\left(z^2 - z + \frac{1}{4}\right) + 12 - 1 \] \[ B = (x - 2y)^2 + (y - 2z)^2 + 4\left(z - \frac{1}{2}\right)^2 + 11 \] Do đó, ta có: \[ B \geq 11 \] Dấu "=" xảy ra khi: \[ x - 2y = 0 \] \[ y - 2z = 0 \] \[ z - \frac{1}{2} = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ x = 2y \] \[ y = 2z \] \[ z = \frac{1}{2} \] Thay \(z = \frac{1}{2}\) vào \(y = 2z\): \[ y = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] Thay \(y = 1\) vào \(x = 2y\): \[ x = 2 \cdot 1 = 2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là 11, đạt được khi \(x = 2\), \(y = 1\), và \(z = \frac{1}{2}\). Bài 18: Ta có \( C = 5x^2 - 12xy + 9y^2 - 4x + 4 \) Nhận thấy rằng \( 5x^2 - 12xy + 9y^2 \) có dạng \( ax^2 + bxy + cy^2 \). Ta sẽ nhóm lại để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất. \( C = 5x^2 - 12xy + 9y^2 - 4x + 4 \) Ta viết lại \( 5x^2 - 12xy + 9y^2 \) dưới dạng tổng bình phương: \( 5x^2 - 12xy + 9y^2 = (x\sqrt{5})^2 - 2(x\sqrt{5})(\frac{6y}{\sqrt{5}}) + (\frac{6y}{\sqrt{5}})^2 \) \( = (x\sqrt{5} - y\sqrt{5})^2 \) Do đó, ta có: \( C = (x\sqrt{5} - y\sqrt{5})^2 - 4x + 4 \) Tiếp theo, ta xét \( -4x + 4 \): \( -4x + 4 = -4(x - 1) \) Vậy: \( C = (x\sqrt{5} - y\sqrt{5})^2 - 4(x - 1) \) Để \( C \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( (x\sqrt{5} - y\sqrt{5})^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất và \( -4(x - 1) \) cũng đạt giá trị nhỏ nhất. \( (x\sqrt{5} - y\sqrt{5})^2 \geq 0 \) với mọi \( x \) và \( y \). Do đó, \( (x\sqrt{5} - y\sqrt{5})^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x\sqrt{5} = y\sqrt{5} \) hay \( x = y \). Khi \( x = y \), ta có: \( C = (x\sqrt{5} - x\sqrt{5})^2 - 4(x - 1) \) \( = 0 - 4(x - 1) \) \( = -4(x - 1) \) Để \( -4(x - 1) \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( x - 1 \) đạt giá trị lớn nhất. Vì \( x \) và \( y \) là các biến số thực, nên \( x \) có thể lấy bất kỳ giá trị nào. Tuy nhiên, để \( C \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta chọn \( x = 1 \). Khi \( x = 1 \), ta có: \( C = -4(1 - 1) \) \( = -4 \times 0 \) \( = 0 \) Vậy giá trị nhỏ nhất của \( C \) là 0, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 1 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là 0, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 1 \). Bài 19: Ta có: \( E = x^2 + 5y^2 - 4xy + 2y - 3 \) Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ E = (x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2 + 2y - 3 \] Viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ E = (x - 2y)^2 + y^2 + 2y - 3 \] Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \( y \): \[ E = (x - 2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 4 \] Viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ E = (x - 2y)^2 + (y + 1)^2 - 4 \] Do tính chất của bình phương, ta có: \[ (x - 2y)^2 \geq 0 \quad \text{và} \quad (y + 1)^2 \geq 0 \] Suy ra: \[ (x - 2y)^2 + (y + 1)^2 \geq 0 \] Do đó: \[ E \geq -4 \] Dấu bằng xảy ra khi: \[ x - 2y = 0 \quad \text{và} \quad y + 1 = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ x - 2y = 0 \] \[ y + 1 = 0 \] Từ \( y + 1 = 0 \), ta có \( y = -1 \). Thay \( y = -1 \) vào \( x - 2y = 0 \): \[ x - 2(-1) = 0 \] \[ x + 2 = 0 \] \[ x = -2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \(-4\), đạt được khi \( x = -2 \) và \( y = -1 \). Bài 20: Ta có: \[A = 2x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 3.\] Nhóm lại ta có: \[A = (2x^2 - 2xy + y^2) - 2x + 3.\] Viết lại dưới dạng: \[A = (x^2 - 2xy + y^2) + x^2 - 2x + 3.\] Ta nhận thấy rằng \(x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\), do đó: \[A = (x - y)^2 + x^2 - 2x + 3.\] Bây giờ, ta sẽ viết lại \(x^2 - 2x\) dưới dạng hoàn chỉnh: \[x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1.\] Do đó: \[A = (x - y)^2 + (x - 1)^2 - 1 + 3.\] \[A = (x - y)^2 + (x - 1)^2 + 2.\] Vì \((x - y)^2 \geq 0\) và \((x - 1)^2 \geq 0\), nên: \[A \geq 0 + 0 + 2 = 2.\] Dấu bằng xảy ra khi: \[x - y = 0 \quad \text{và} \quad x - 1 = 0.\] Từ đây ta có: \[x = y \quad \text{và} \quad x = 1.\] Vậy \(x = 1\) và \(y = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 2, đạt được khi \(x = 1\) và \(y = 1\). Bài 21: Ta có: \[ B = 2 - 5x^2 - y^2 - 4xy + 2x \] \[ = 2 - 4x^2 - 4xy - y^2 - x^2 + 2x \] \[ = 2 - (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot y - y^2 - x^2 + 2x \] \[ = 2 - (2x + y)^2 - x^2 + 2x \] Do \((2x + y)^2 \geq 0\) và \(x^2 \geq 0\), ta có: \[ B \leq 2 - 0 - 0 + 2x \] \[ B \leq 2 + 2x \] Để \(B\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tối ưu hóa \(2 + 2x\). Ta thấy rằng \(2 + 2x\) sẽ lớn nhất khi \(x\) lớn nhất. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem \(B\) có thể đạt giá trị lớn nhất tại \(x\) nào cụ thể hay không. Xét trường hợp \(x = 0\): \[ B = 2 - 0 - 0 - 0 + 0 = 2 \] Xét trường hợp \(x = 1\): \[ B = 2 - 5(1)^2 - y^2 - 4(1)y + 2(1) \] \[ = 2 - 5 - y^2 - 4y + 2 \] \[ = -1 - y^2 - 4y \] Để \(B\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tối ưu hóa \(-1 - y^2 - 4y\). Ta thấy rằng \(-1 - y^2 - 4y\) sẽ lớn nhất khi \(y\) nhỏ nhất. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem \(B\) có thể đạt giá trị lớn nhất tại \(y\) nào cụ thể hay không. Xét trường hợp \(y = 0\): \[ B = -1 - 0 - 0 = -1 \] Xét trường hợp \(y = -2\): \[ B = -1 - (-2)^2 - 4(-2) \] \[ = -1 - 4 + 8 \] \[ = 3 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \(B\) là 3, đạt được khi \(x = 1\) và \(y = -2\). Giá trị lớn nhất của \(B\) là 3, đạt được khi \(x = 1\) và \(y = -2\). Bài 22: Ta có: \[A=x^2-2xy+2y^2-4y+5=x^2-2xy+y^2+y^2-4y+5=(x-y)^2+(y-2)^2+1.\] Vì $(x-y)^2 \geq 0$ và $(y-2)^2 \geq 0$, nên $(x-y)^2+(y-2)^2 \geq 0$. Do đó, $(x-y)^2+(y-2)^2+1 \geq 1$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là 1, đạt được khi $x-y=0$ và $y-2=0$, tức là $x=y=2$. Bài 23: Ta có: \( B = 2x^2 + y^2 + 2xy - 8x + 2028 \) Nhóm các hạng tử để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất: \[ B = (2x^2 + 2xy + y^2) - 8x + 2028 \] Viết lại biểu thức dưới dạng tổng của bình phương: \[ B = (x^2 + 2xy + y^2) + x^2 - 8x + 2028 \] \[ B = (x + y)^2 + x^2 - 8x + 2028 \] Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \): \[ B = (x + y)^2 + (x^2 - 8x) + 2028 \] Hoàn chỉnh bình phương cho \( x^2 - 8x \): \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] Thay vào biểu thức: \[ B = (x + y)^2 + (x - 4)^2 - 16 + 2028 \] \[ B = (x + y)^2 + (x - 4)^2 + 2012 \] Do \( (x + y)^2 \geq 0 \) và \( (x - 4)^2 \geq 0 \), nên: \[ B \geq 2012 \] Dấu "=" xảy ra khi: \[ (x + y)^2 = 0 \quad \text{và} \quad (x - 4)^2 = 0 \] \[ x + y = 0 \quad \text{và} \quad x - 4 = 0 \] \[ x = 4 \quad \text{và} \quad y = -4 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là 2012, đạt được khi \( x = 4 \) và \( y = -4 \). Bài 24: Ta có \(A = x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 5\) Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[A = (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) + 1\] Viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[A = (x - y)^2 + (y - 2)^2 + 1\] Do tính chất của bình phương, ta có: \[(x - y)^2 \geq 0\] \[(y - 2)^2 \geq 0\] Vậy \(A \geq 0 + 0 + 1 = 1\) Dấu “=” xảy ra khi \(x - y = 0\) và \(y - 2 = 0\), tức là \(x = y = 2\). Giá trị lớn nhất của \(A\) là 1, đạt được khi \(x = 2\) và \(y = 2\). Bài 25: Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( B = 2x^2 - 2y^2 + 5y^2 + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức: Ta thấy rằng \( -2y^2 + 5y^2 = 3y^2 \). Do đó, biểu thức \( B \) có thể viết lại như sau: \[ B = 2x^2 + 3y^2 + 5 \] 2. Phân tích từng hạng tử: - \( 2x^2 \geq 0 \) vì bình phương của một số luôn không âm. - \( 3y^2 \geq 0 \) vì bình phương của một số luôn không âm. 3. Xác định giá trị nhỏ nhất: - Vì \( 2x^2 \geq 0 \) và \( 3y^2 \geq 0 \), nên \( 2x^2 + 3y^2 \geq 0 \). - Do đó, \( 2x^2 + 3y^2 + 5 \geq 5 \). 4. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất: - Giá trị nhỏ nhất của \( 2x^2 + 3y^2 \) là 0, xảy ra khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \). - Khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \), ta có: \[ B = 2(0)^2 + 3(0)^2 + 5 = 5 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là 5, đạt được khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là 5, đạt được khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \). Bài 26: Ta có \(A(x) = 2x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 3\) \(= x^2 + (x^2 + y^2 - 2xy) - 2x + 3\) \(= x^2 + (x - y)^2 - 2x + 3\) Vì \((x - y)^2 \geq 0\) nên \(x^2 + (x - y)^2 - 2x + 3 \geq x^2 - 2x + 3\) Ta lại có \(x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2 \geq 2\) Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1\) và \(y = 1\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A(x)\) là 1, đạt được khi \(x = 1\) và \(y = 1\). Bài 27: Ta có \(A = -4x^2 - 5y^2 + 8xy + 10y + 12\) \(= -4(x^2 - 2xy) - 5(y^2 - 2y) + 12\) \(= -4(x^2 - 2xy + y^2) + 4y^2 - 5(y^2 - 2y + 1) + 5 + 12\) \(= -4(x - y)^2 - 5(y - 1)^2 + 17\) Vì \(-4(x - y)^2 \leq 0\) và \(-5(y - 1)^2 \leq 0\) nên \(A \leq 17\) Dấu “=” xảy ra khi \(x - y = 0\) và \(y - 1 = 0\) tức là \(x = 1\) và \( y = 2 \) Giá trị lớn nhất của \(A\) là 17, đạt được khi \(x = 1\) và \(y = 1\). Bài 28: Ta có: \(A=x^2+4y^2-4x+32y+2018\) \(=x^2-4x+4+4y^2+32y+64+1950\) \(=(x-2)^2+(2y+8)^2+1950\) Vì \((x-2)^2 \geq 0\) và \((2y+8)^2 \geq 0\) nên \((x-2)^2+(2y+8)^2 \geq 0\) Do đó \(A=(x-2)^2+(2y+8)^2+1950 \geq 1950\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 1950, đạt được khi \(x-2=0\) và \(2y+8=0\) tức là \(x=2\) và \(y=-4\). Bài 29: Ta có: \[A = 3x^2 + y^2 + 4x - y\] Ta sẽ nhóm lại và hoàn chỉnh bình phương để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất. \[A = 3(x^2 + \frac{4}{3}x) + y^2 - y\] Bây giờ ta sẽ hoàn chỉnh bình phương cho phần \(x\) và \(y\): \[A = 3\left(x^2 + \frac{4}{3}x + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right) + \left(y^2 - y + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\] \[A = 3\left[\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right] + \left[\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\] \[A = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\] \[A = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 - \frac{4}{3} + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\] \[A = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{4}{3} - \frac{1}{4}\] \[A = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{16}{12} - \frac{3}{12}\] \[A = 3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{19}{12}\] Do \(3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 \geq 0\) và \(\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0\), nên giá trị nhỏ nhất của \(A\) xảy ra khi cả hai biểu thức này đều bằng 0. \[3\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 = 0 \quad \text{và} \quad \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = 0\] \[x + \frac{2}{3} = 0 \quad \text{và} \quad y - \frac{1}{2} = 0\] \[x = -\frac{2}{3} \quad \text{và} \quad y = \frac{1}{2}\] Thay \(x = -\frac{2}{3}\) và \(y = \frac{1}{2}\) vào biểu thức \(A\): \[A = 3\left(-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{19}{12}\] \[A = 3(0)^2 + (0)^2 - \frac{19}{12}\] \[A = -\frac{19}{12}\] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(-\frac{19}{12}\), đạt được khi \(x = -\frac{2}{3}\) và \(y = \frac{1}{2}\). Bài 30: Ta có \( B = 5x^2 + y^2 + 2xy - 12x - 18 \) Nhóm các hạng tử để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất: \[ B = (5x^2 + 2xy + y^2) - 12x - 18 \] Viết lại biểu thức dưới dạng tổng của bình phương: \[ B = (x^2 + 2xy + y^2) + 4x^2 - 12x - 18 \] \[ B = (x + y)^2 + 4x^2 - 12x - 18 \] Tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \): \[ B = (x + y)^2 + 4(x^2 - 3x) - 18 \] Hoàn chỉnh bình phương cho \( x \): \[ B = (x + y)^2 + 4(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 18 \] \[ B = (x + y)^2 + 4((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) - 18 \] \[ B = (x + y)^2 + 4(x - \frac{3}{2})^2 - 9 - 18 \] \[ B = (x + y)^2 + 4(x - \frac{3}{2})^2 - 27 \] Do \( (x + y)^2 \geq 0 \) và \( 4(x - \frac{3}{2})^2 \geq 0 \), nên: \[ B \geq -27 \] Dấu bằng xảy ra khi: \[ x + y = 0 \] \[ x - \frac{3}{2} = 0 \] Giải hệ phương trình này: \[ x = \frac{3}{2} \] \[ y = -\frac{3}{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \(-27\), đạt được khi \( x = \frac{3}{2} \) và \( y = -\frac{3}{2} \).