Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA=SB=SC=a và đôi một hợp với nhau góc 45 độ . Tính khoảng cách từ S đến trọng tâm của tam giác ABC.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tính khoảng cách từ đỉnh S của hình chóp S.ABC đến trọng tâm G của tam giác đáy ABC. Trước tiên, ta cần xác định vị trí của các điểm và các yếu tố liên quan.

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

Giả sử tam giác ABC nằm trong mặt phẳng $Oxy$ và có trọng tâm G. Đặt:
- $A = (0, 0, 0)$
- $B = (a, 0, 0)$
- $C = (0, a, 0)$

Vì SA = SB = SC = a và các góc giữa các cạnh đôi một là 45 độ, ta có thể đặt tọa độ của S là $(x, y, z)$ sao cho:
- $SA = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = a$
- $SB = \sqrt{(x-a)^2 + y^2 + z^2} = a$
- $SC = \sqrt{x^2 + (y-a)^2 + z^2} = a$

Bước 2: Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
$$
G = \left(\frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + a}{3}, 0\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, 0\right)
$$

Bước 3: Tính khoảng cách từ S đến G

Khoảng cách từ điểm S $(x, y, z)$ đến điểm G $\left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, 0\right)$ được tính theo công thức:
$$
SG = \sqrt{\left(x - \frac{a}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{a}{3}\right)^2 + z^2}
$$

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ S

Từ điều kiện $SA = SB = SC = a$, ta có hệ phương trình:
1. $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$
2. $(x-a)^2 + y^2 + z^2 = a^2$
3. $x^2 + (y-a)^2 + z^2 = a^2$

Giải hệ phương trình này, ta có:
- Từ phương trình 1 và 2: $(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x^2 - 2ax + a^2 = x^2 \Rightarrow x = \frac{a}{2}$
- Từ phương trình 1 và 3: $x^2 + (y-a)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow y^2 - 2ay + a^2 = y^2 \Rightarrow y = \frac{a}{2}$

Thay $x = \frac{a}{2}$ và $y = \frac{a}{2}$ vào phương trình 1:
$$
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2 \Rightarrow \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + z^2 = a^2 \Rightarrow z^2 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow z = \frac{a\sqrt{2}}{2}
$$

Vậy tọa độ của S là $\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$.

Bước 5: Tính khoảng cách SG

Thay tọa độ của S và G vào công thức khoảng cách:
$$
SG = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}
$$

Tính từng phần:
- $\frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{3a - 2a}{6} = \frac{a}{6}$
- $\left(\frac{a}{6}\right)^2 = \frac{a^2}{36}$
- $\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Do đó:
$$
SG = \sqrt{2 \times \frac{a^2}{36} + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{2a^2}{36} + \frac{18a^2}{36}} = \sqrt{\frac{20a^2}{36}} = \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{5}}{3}
$$

Vậy khoảng cách từ S đến trọng tâm G của tam giác ABC là $\frac{a\sqrt{5}}{3}$.