14.Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Chứng minh: Tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng. b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại điểm D và cắt AC tại điểm E. Chứng minh: AE.BD = BEHD và...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng: - Tam giác ABC vuông tại A, do đó góc BAC là góc vuông. - Trong tam giác HBA, góc HBA là góc chung với tam giác ABC. - Do đó, góc AHB = 90 độ (vì AH là đường cao). - Vậy, tam giác ABC và tam giác HBA có góc AHB = góc BAC = 90 độ và góc HBA là góc chung. - Theo trường hợp góc-góc (AA), ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA. b) Chứng minh AE.BD = BE.HD và tam giác ADE cân tại A: - Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AH}{HC} \] - Tương tự, trong tam giác AEC, ta có: \[ \frac{AE}{EC} = \frac{AH}{HC} \] - Từ hai tỷ lệ trên, ta suy ra: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] - Do đó, AD \cdot EC = AE \cdot DB. - Vì D nằm trên AH và E nằm trên AC, nên EC = HD. - Vậy, AE \cdot BD = BE \cdot HD. - Để chứng minh tam giác ADE cân tại A, ta cần chứng minh AD = AE. - Từ tỷ lệ trên, vì AD \cdot EC = AE \cdot DB và EC = HD, ta có: \[ AD \cdot HD = AE \cdot DB \] - Do đó, nếu AD = AE, thì tam giác ADE cân tại A. c) Chứng minh tia BE là tia phân giác của góc MBN: - Gọi M là trung điểm của AE, do đó AM = ME. - Gọi N là trung điểm của DH, do đó DN = NH. - Xét tam giác MBN, ta cần chứng minh BE là phân giác của góc MBN. - Vì M là trung điểm của AE và N là trung điểm của DH, nên: \[ \frac{AM}{ME} = \frac{DN}{NH} = 1 \] - Do đó, theo định lý đường phân giác, BE là phân giác của góc MBN. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.