Câu $\rm 2.$

Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$. Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số. Hàm số $f(x)$ là một phân thức, do đó điều kiện xác định là mẫu số khác 0. Vậy: \[ x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2. \] Hàm số xác định với mọi $x \neq -2$. Tiếp theo, ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$. Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức $\frac{u}{v}$, với $u = x - 1$ và $v = x + 2$, ta có: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \] trong đó $u' = 1$ và $v' = 1$. Thay vào công thức, ta được: \[ f'(x) = \frac{(1)(x+2) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x + 2 - x + 1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}. \] Vậy đạo hàm của hàm số là $f'(x) = \frac{3}{(x+2)^2}$. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=0$. Để viết phương trình tiếp tuyến, ta cần xác định: 1. Giá trị của hàm số tại $x = 0$. 2. Đạo hàm tại $x = 0$. Bước 1: Tính $f(0)$: \[ f(0) = \frac{0 - 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2}. \] Vậy điểm trên đồ thị là $(0, -\frac{1}{2})$. Bước 2: Tính $f'(0)$: \[ f'(0) = \frac{3}{(0+2)^2} = \frac{3}{4}. \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). \] Thay $x_0 = 0$, $f'(0) = \frac{3}{4}$ và $f(0) = -\frac{1}{2}$ vào, ta có: \[ y = \frac{3}{4}(x - 0) - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}. \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 0$ là: \[ y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}. \]