Câu $\rm 3.$ Câu 3 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA\bot(ABCD).$,a) Chứng minh rằng $BC\bot(SAB).$,b) Cho $SA=AB=a,AD=a\sqrt3.$ Gọi ợ là số đo góc phẳng của nhị diện $[B,SC,D].$ Tính cos p..

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh rằng $ BC \perp (SAB) $

1. Xác định mặt phẳng và các đường thẳng liên quan:
   - Đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, do đó $ AB \parallel CD $ và $ AD \parallel BC $.
   - $ SA \perp (ABCD) $ nghĩa là $ SA $ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $ (ABCD) $.

2. Chứng minh $ BC \perp (SAB) $:
   - Vì $ SA \perp (ABCD) $, nên $ SA \perp BC $.
   - Trong mặt phẳng $ (ABCD) $, $ AB \perp BC $ vì $ ABCD $ là hình chữ nhật.
   - Do đó, $ BC $ vuông góc với hai đường thẳng không song song $ SA $ và $ AB $ trong mặt phẳng $ (SAB) $.
   - Suy ra, $ BC \perp (SAB) $.

b) Tính $\cos \varphi$, với $\varphi$ là góc phẳng của nhị diện $[B,SC,D]$

1. Xác định các yếu tố liên quan:
   - $ SA = AB = a $ và $ AD = a\sqrt{3} $.
   - $ BC = AD = a\sqrt{3} $ vì $ ABCD $ là hình chữ nhật.

2. Tính độ dài $ SC $:
   - Trong tam giác vuông $ SAC $, áp dụng định lý Pythagore:
     $$
     SC = \sqrt{SA^2 + AC^2}
     $$
   - Tính $ AC $ trong tam giác vuông $ ABC $:
     $$
     AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a
     $$
   - Do đó:
     $$
     SC = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
     $$

3. Tính $\cos \varphi$:
   - Góc phẳng $\varphi$ của nhị diện $[B,SC,D]$ là góc giữa hai đường thẳng $ BC $ và $ CD $ trong mặt phẳng $ (BCD) $.
   - Vì $ BC \parallel AD $ và $ AD \perp CD $ trong hình chữ nhật $ ABCD $, nên $ BC \perp CD $.
   - Do đó, $\varphi = 90^\circ$ và $\cos \varphi = \cos 90^\circ = 0$.

Vậy, $\cos \varphi = 0$.