Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SD trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và chiều cao của đáy: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD với cạnh bằng 2. Tâm của hình vuông này là điểm O, giao của hai đường chéo AC và BD. Do ABCD là hình vuông, nên O là trung điểm của AC và BD. Tọa độ của các điểm có thể được chọn như sau: - A(1, 1, 0), B(1, -1, 0), C(-1, -1, 0), D(-1, 1, 0). - O(0, 0, 0). 2. Tính chiều cao SO của hình chóp: Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, nên SO là đường cao của hình chóp. Cạnh bên SA = SB = SC = SD = \(2\sqrt{2}\). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SAO: \[ SA^2 = SO^2 + AO^2 \] \[ (2\sqrt{2})^2 = SO^2 + 1^2 \] \[ 8 = SO^2 + 1 \] \[ SO^2 = 7 \Rightarrow SO = \sqrt{7} \] 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SD, ta cần tìm một mặt phẳng chứa SD và vuông góc với AB. - Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng đáy (Oxy), nên mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với (Oxy) và chứa SD. - Mặt phẳng này có phương trình dạng \(z = mx + ny + p\). Do SD là đường thẳng đi qua S(0, 0, \(\sqrt{7}\)) và D(-1, 1, 0), vector chỉ phương của SD là \(\overrightarrow{SD} = (-1, 1, -\sqrt{7})\). Mặt phẳng chứa SD có vector pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (1, 1, 0)\) (vì vuông góc với AB có vector chỉ phương \(\overrightarrow{AB} = (0, -2, 0)\)). Phương trình mặt phẳng chứa SD là: \[ x + y = 0 \] - Khoảng cách từ điểm A(1, 1, 0) đến mặt phẳng \(x + y = 0\) là: \[ d = \frac{|1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là \(\sqrt{2} \approx 1.4\) (làm tròn đến hàng phần mười).