Giúp mình với! Câu 14,Cho hình bình hành ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh:,$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}.$

Question

Accepted Answer

Câu 14:
Để chứng minh đẳng thức vector $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định trọng tâm G của tam giác ABC:

Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm thỏa mãn:
   $$
   \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}
   $$
   Từ đó, ta có:
   $$
   \overrightarrow{GB} = -(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC})
   $$

2. Biểu diễn các vector qua các vector cạnh của hình bình hành:

Trong hình bình hành ABCD, ta có:
   $$
   \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}
   $$

3. Biểu diễn $\overrightarrow{GD}$ qua các vector khác:

Ta có:
   $$
   \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{BC}
   $$

4. Thay $\overrightarrow{GD}$ vào đẳng thức cần chứng minh:

Ta cần chứng minh:
   $$
   \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{BD}
   $$
   Thay $\overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{BC}$ vào, ta có:
   $$
   \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{BD}
   $$
   $$
   2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}
   $$

5. Sử dụng tính chất của trọng tâm:

Từ $\overrightarrow{GB} = -(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC})$, ta có:
   $$
   \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB}
   $$
   $$
   \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB}
   $$

6. Thay $\overrightarrow{BC}$ vào đẳng thức:

Thay $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB}$ vào, ta có:
   $$
   2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} + (\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{BD}
   $$
   $$
   2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}
   $$

7. Kết luận:

Từ $\overrightarrow{GB} = -(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC})$, ta có:
   $$
   \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} = -\overrightarrow{GB}
   $$
   $$
   2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AB}
   $$
   Do đó, đẳng thức $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$ được chứng minh.