Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AM² = MB·MC.
b) Nếu AB = 6 cm, AC = 8 cm, tính AM.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh $ AM^2 = MB \cdot MC $

1. Xét tam giác ABC vuông tại A:
   - Do tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có: 
     $$
     BC^2 = AB^2 + AC^2
     $$

2. Tính độ dài BC:
   - Gọi $ BC = a $, $ AB = c $, $ AC = b $.
   - Theo định lý Pythagore, ta có:
     $$
     a^2 = c^2 + b^2
     $$

3. Tính độ dài MB và MC:
   - Vì M là trung điểm của BC, nên:
     $$
     MB = MC = \frac{a}{2}
     $$

4. Chứng minh $ AM^2 = MB \cdot MC $:
   - Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có:
     $$
     AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}
     $$
   - Thay $ BC^2 = AB^2 + AC^2 $ vào, ta có:
     $$
     AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - (AB^2 + AC^2)}{4} = \frac{AB^2 + AC^2}{4}
     $$
   - Mà $ MB \cdot MC = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} $.
   - Do $ a^2 = AB^2 + AC^2 $, nên:
     $$
     MB \cdot MC = \frac{AB^2 + AC^2}{4}
     $$
   - Vậy, $ AM^2 = MB \cdot MC $.

b) Nếu $ AB = 6 $ cm, $ AC = 8 $ cm, tính $ AM $.

1. Tính độ dài BC:
   - Áp dụng định lý Pythagore:
     $$
     BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
     $$
   - Suy ra $ BC = \sqrt{100} = 10 $ cm.

2. Tính độ dài AM:
   - Theo phần a), ta có:
     $$
     AM^2 = MB \cdot MC = \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 5^2 = 25
     $$
   - Suy ra $ AM = \sqrt{25} = 5 $ cm.

Vậy, độ dài $ AM $ là 5 cm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AM² = MB·MC. b) Nếu AB = 6 cm, AC = 8 cm, tính AM.