giúp em với

6. Tìm y biết y chia cho 5; 8; 12 đều dư 1 và $100< y< 300.$ Ta thấy y chia cho 5; 8; 12 đều dư 1 nên y-1 chia hết cho 5; 8; 12. Ta có 5=5; 8=2×2×2; 12=2×2×3. Suy ra BCNN(5; 8; 12)=2×2×2×3×5=120. Suy ra y-1=120×k (k là số tự nhiên). Do $100< y< 300$ nên $100< 120×k+1< 300$. Suy ra $100< 120×k+1< 300$. Suy ra $99< 120×k< 299$. Suy ra $0,825< k< 2,491$. Vậy k=1 hoặc k=2. Nếu k=1 thì y=121. Nếu k=2 thì y=241. Vậy y=121 hoặc y=241. 7. Tìm số tự nhiên a biết 250 chia cho a dư 10 và 320 chia cho a dư 20. Ta có 250 chia cho a dư 10 nên 250-10 chia hết cho a. Suy ra 240 chia hết cho a. Ta có 320 chia cho a dư 20 nên 320-20 chia hết cho a. Suy ra 300 chia hết cho a. Vậy a là ước chung của 240 và 300. Ta có 240=2×2×2×2×3×5; 300=2×2×3×5×5. Suy ra UCLN(240; 300)=2×2×3×5=60. Vậy a=60. 8. Cho $A=1+5+5^2+5^3+...+5^{2021}$ a) Chứng tỏ A chia hết cho 31 Ta có $A=1+5+5^2+5^3+...+5^{2021}$. Suy ra $5A=5+5^2+5^3+...+5^{2022}$. Suy ra $5A-A=5^{2022}-1$. Suy ra $4A=5^{2022}-1$. Suy ra $A=\frac{5^{2022}-1}{4}$. Ta có $5^3=125$ chia hết cho 31. Suy ra $5^{2022}=5^{3×674}=125^{674}$ chia hết cho 31. Suy ra $5^{2022}-1$ chia hết cho 31. Suy ra $\frac{5^{2022}-1}{4}$ chia hết cho 31. Vậy A chia hết cho 31. b) Tính 4A Ta có $4A=5^{2022}-1$. c) Chứng tỏ $C=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+1}$ chia hết cho 10 với mọi $n\in\mathbb{N}$ Ta có $C=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+1}$. Suy ra $C=3^{n+1}(3^2+1)+2^{n+1}(2^2+1)$. Suy ra $C=3^{n+1}×10+2^{n+1}×5$. Suy ra $C=10×3^{n+1}+5×2^{n+1}$. Suy ra C chia hết cho 10. 9. Chứng tỏ rằng $B=7^n+7^{n+1}+7^{n+2}$ chia hết cho 57 với mọi $n\in\mathbb{N}.$ Ta có $B=7^n+7^{n+1}+7^{n+2}$. Suy ra $B=7^n(1+7+7^2)$. Suy ra $B=7^n×57$. Suy ra B chia hết cho 57. 10. Tìm số tự nhiên z biết rằng z là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia cho 15 dư 7 và chia cho 20 dư 12. Ta có z chia cho 15 dư 7 nên z=15×k+7 (k là số tự nhiên). Ta có z chia cho 20 dư 12 nên z=20×m+12 (m là số tự nhiên). Suy ra 15×k+7=20×m+12. Suy ra 15×k-20×m=5. Suy ra 3×k-4×m=1. Suy ra m=(3×k-1):4. Suy ra m là số tự nhiên. Suy ra 3×k-1 chia hết cho 4. Suy ra 3×k chia dư 1 cho 4. Suy ra k chia dư 3 cho 4. Suy ra k=4×t+3 (t là số tự nhiên). Suy ra z=15×(4×t+3)+7=60×t+52. Suy ra z=60×t+52. Suy ra z=60×0+52=52. Vậy z=52.