Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1: Để khử mẫu của các biểu thức chứa căn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Khử mẫu của biểu thức $\sqrt{\frac{25}{3}}$: - Nhân tử số và mẫu số bên trong căn bậc hai với 3 để khử mẫu: \[ \sqrt{\frac{25}{3}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{75}}{3} \] - Rút gọn $\sqrt{75}$ thành $\sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$: \[ \frac{\sqrt{75}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \] b) Khử mẫu của biểu thức $-9 - \sqrt{\frac{20}{3}}$: - Nhân tử số và mẫu số bên trong căn bậc hai với 3 để khử mẫu: \[ \sqrt{\frac{20}{3}} = \sqrt{\frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{60}{9}} = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{60}}{3} \] - Rút gọn $\sqrt{60}$ thành $\sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$: \[ \frac{\sqrt{60}}{3} = \frac{2\sqrt{15}}{3} \] - Kết hợp lại: \[ -9 - \sqrt{\frac{20}{3}} = -9 - \frac{2\sqrt{15}}{3} \] c) Khử mẫu của biểu thức $x : \sqrt{\frac{45}{2x}}$ (với $x > 0$): - Nhân tử số và mẫu số bên trong căn bậc hai với $2x$ để khử mẫu: \[ \sqrt{\frac{45}{2x}} = \sqrt{\frac{45 \cdot 2x}{2x \cdot 2x}} = \sqrt{\frac{90x}{4x^2}} = \frac{\sqrt{90x}}{\sqrt{4x^2}} = \frac{\sqrt{90x}}{2x} \] - Rút gọn $\sqrt{90x}$ thành $\sqrt{9 \cdot 10x} = 3\sqrt{10x}$: \[ \frac{\sqrt{90x}}{2x} = \frac{3\sqrt{10x}}{2x} \] - Chia $x$ cho $\frac{3\sqrt{10x}}{2x}$: \[ x : \frac{3\sqrt{10x}}{2x} = x \cdot \frac{2x}{3\sqrt{10x}} = \frac{2x^2}{3\sqrt{10x}} \] - Rút gọn $\frac{2x^2}{3\sqrt{10x}}$ thành $\frac{2x\sqrt{x}}{3\sqrt{10}}$: \[ \frac{2x^2}{3\sqrt{10x}} = \frac{2x\sqrt{x}}{3\sqrt{10}} = \frac{2x\sqrt{x}}{3\sqrt{10}} = \frac{2x\sqrt{x}}{3\sqrt{10}} = \frac{2x\sqrt{x}}{3\sqrt{10}} = \frac{2x\sqrt{x}}{3\sqrt{10}} \] d) Khử mẫu của biểu thức $-\sqrt{\frac{5y}{3x}}$ (với $x \geq 0$, $y > 0$): - Nhân tử số và mẫu số bên trong căn bậc hai với $3x$ để khử mẫu: \[ \sqrt{\frac{5y}{3x}} = \sqrt{\frac{5y \cdot 3x}{3x \cdot 3x}} = \sqrt{\frac{15xy}{9x^2}} = \frac{\sqrt{15xy}}{\sqrt{9x^2}} = \frac{\sqrt{15xy}}{3x} \] - Kết hợp lại: \[ -\sqrt{\frac{5y}{3x}} = -\frac{\sqrt{15xy}}{3x} \] Bài 2: a) $\frac{10}{\sqrt7}=\frac{10\times \sqrt7}{\sqrt7\times \sqrt7}=\frac{10\sqrt7}{7}$ b) $\frac8{3-\sqrt5}=\frac{8\times (3+\sqrt5)}{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=\frac{8\times (3+\sqrt5)}{9-5}=\frac{8\times (3+\sqrt5)}{4}=2(3+\sqrt5)$ c) $\frac{21}{\sqrt7+2}=\frac{21\times (\sqrt7-2)}{(\sqrt7+2)(\sqrt7-2)}=\frac{21\times (\sqrt7-2)}{7-4}=\frac{21\times (\sqrt7-2)}{3}=7(\sqrt7-2)$ d) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt3}{\sqrt{10}-\sqrt3}=\frac{(\sqrt{10}+\sqrt3)^2}{(\sqrt{10}-\sqrt3)(\sqrt{10}+\sqrt3)}=\frac{10+2\sqrt{30}+3}{10-3}=\frac{13+2\sqrt{30}}{7}$ Bài 3: a) M = $\sqrt{\frac{3}{2}}$ - $\sqrt{\frac{2}{3}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{2}$ - $\frac{\sqrt{6}}{3}$ = $\frac{3\sqrt{6} - 2\sqrt{6}}{6}$ = $\frac{\sqrt{6}}{6}$ b) N = $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ = $\frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$ - $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$ = $\frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1}$ - $\frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}$ = $\sqrt{2} + 1$ - ($\sqrt{2} - 1$) = $\sqrt{2} + 1$ - $\sqrt{2}$ + 1 = 2 c) P = $\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$ - $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ = $\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$ - $\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$ = $\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3}$ - $\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3}$ = $\frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$ - $\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}$ = $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ - ($\sqrt{5} + \sqrt{3}$) = $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ - $\sqrt{5}$ - $\sqrt{3}$ = -2$\sqrt{3}$ d) Q = $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ + $\frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$ = $\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}$ + $\frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}$ = $\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2}$ + $\frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2}$ = $\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$ + $\frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ = $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$ - $\sqrt{2}$ = $\sqrt{5}$ + $\sqrt{6}$ Bài 4: a) Ta có: \[ A = \sqrt[3]{343} + \sqrt[3]{1000} \] \[ = \sqrt[3]{7^3} + \sqrt[3]{10^3} \] \[ = 7 + 10 \] \[ = 17 \] b) Ta có: \[ B = (2 \cdot \sqrt[3]{13})^3 - 10 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{125}} \] \[ = 2^3 \cdot (\sqrt[3]{13})^3 - 10 \cdot \sqrt[3]{\left(\frac{1}{5}\right)^3} \] \[ = 8 \cdot 13 - 10 \cdot \frac{1}{5} \] \[ = 104 - 2 \] \[ = 102 \] c) Ta có: \[ C = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{5} + 3)^3} - \sqrt[3]{(\sqrt{5} - 2)^3}} \] \[ = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{5} + 3)^3} - (\sqrt{5} - 2)} \] \[ = \sqrt{\sqrt{(\sqrt{5} + 3)^3} - \sqrt{5} + 2} \] \[ = \sqrt{(\sqrt{5} + 3) - \sqrt{5} + 2} \] \[ = \sqrt{5} \] d) Ta có: \[ D = \sqrt[3]{8x^3 - 12x^2 + 6x - 1} - \sqrt[3]{x^3} \] \[ = \sqrt[3]{(2x - 1)^3} - \sqrt[3]{x^3} \] \[ = 2x - 1 - x \] \[ = x - 1 \] Bài 5: a) Ta có: \[ P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{5\sqrt{x} - 2}{x - 2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \] Ta sẽ biến đổi từng phần của biểu thức trên. 1. Biến đổi $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$: \[ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \] 2. Biến đổi $\frac{5\sqrt{x} - 2}{x - 2\sqrt{x}}$: \[ \frac{5\sqrt{x} - 2}{x - 2\sqrt{x}} = \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}} = \frac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \] \[ = \frac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} = \frac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \] 3. Biến đổi $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \] Bây giờ ta sẽ kết hợp tất cả các phần lại: \[ P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \] Ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân số: \[ P = \frac{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \frac{5\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \] \[ = \frac{2x - (5\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \] \[ = \frac{2x - 5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \] Tiếp tục biến đổi: \[ = \frac{2x - 5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} - 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \] \[ = \frac{2x - 5\sqrt{x} + 2 - \sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \] \[ = \frac{2x - 5\sqrt{x} + 2 - x + 2\sqrt{x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \] \[ = \frac{x - 4\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \] \[ = \frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \] \[ = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \] Vậy ta đã chứng minh rằng: \[ P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \] b) Để tính giá trị của biểu thức \( P \): \[ P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \] c) Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P = \frac{1}{3} \): \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{3} \] \[ 3(\sqrt{x} - 2) = \sqrt{x} \] \[ 3\sqrt{x} - 6 = \sqrt{x} \] \[ 2\sqrt{x} = 6 \] \[ \sqrt{x} = 3 \] \[ x = 9 \] Vậy giá trị của \( x \) là 9. Bài 6: a) Rút gọn biểu thức A: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \). Biểu thức \( A \) được viết lại dưới dạng: \[ A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x}{x - 1}. \] Ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân thức: \[ A = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} + \frac{2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{x}{x - 1}. \] Tiếp tục rút gọn: \[ A = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2 + 2(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{x}{x - 1}. \] Rút gọn tử số: \[ (\sqrt{x} - 1)^2 + 2(\sqrt{x} + 1) = x - 2\sqrt{x} + 1 + 2\sqrt{x} + 2 = x + 3. \] Do đó: \[ A = \frac{x + 3}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{x + 3 - x}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}. \] Vậy biểu thức \( A \) đã được rút gọn thành: \[ A = \frac{3}{x - 1}. \] b) Tìm giá trị của \( A \): Biểu thức \( A \) đã được rút gọn thành \( A = \frac{3}{x - 1} \). c) Tìm giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên: Để \( A \) nhận giá trị nguyên, \( \frac{3}{x - 1} \) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x - 1 \) là ước của 3. Các ước của 3 là: \( \pm 1, \pm 3 \). Do đó: \[ x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2, \] \[ x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0, \] \[ x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4, \] \[ x - 1 = -3 \Rightarrow x = -2. \] Tuy nhiên, do điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \), ta chỉ giữ lại các giá trị \( x = 0, 2, 4 \). Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( A \) nhận giá trị nguyên là: \[ x = 0, 2, 4. \] Bài 7: a) Ta có: $\frac1{\sqrt n-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt n+\sqrt{n+1}}{(\sqrt n-\sqrt{n+1})(\sqrt n+\sqrt{n+1})}$ $=\frac{\sqrt n+\sqrt{n+1}}{n-(n+1)}$ $=\frac{\sqrt n+\sqrt{n+1}}{-1}$ $=-\sqrt n-\sqrt{n+1}$ Vậy $\frac1{\sqrt n-\sqrt{n+1}}=-\sqrt n-\sqrt{n+1}$ với mọi số tự nhiên n. b) Ta có: $T=\frac1{\sqrt2-\sqrt3}-\frac1{\sqrt3-\sqrt4}+\frac1{\sqrt4-\sqrt5}-...+\frac1{\sqrt{100}-\sqrt{101}}$ $=(-\sqrt2-\sqrt3)-(-\sqrt3-\sqrt4)+(-\sqrt4-\sqrt5)-...+(\sqrt{100}+\sqrt{101})$ $=(-\sqrt2-\sqrt3)+\sqrt3+\sqrt4+(-\sqrt4-\sqrt5)+...+\sqrt{100}+\sqrt{101}$ $=(-\sqrt2)+(-\sqrt3+\sqrt3)+(-\sqrt4+\sqrt4)+...+(-\sqrt{100}+\sqrt{100})+\sqrt{101}$ $=-\sqrt2+\sqrt{101}$ Vậy $T=-\sqrt2+\sqrt{101}$.