Giải bài sau

Bài 1: Để xác định vị trí của điểm M so với đường tròn (O; R), ta cần xem xét mối quan hệ giữa khoảng cách từ điểm M đến tâm O và bán kính R của đường tròn. - Định nghĩa: Một điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu khoảng cách từ M đến O bằng bán kính R, tức là \(OM = R\). Trong bài toán này, ta có \(OM = R\). Do đó, theo định nghĩa trên, điểm M nằm trên đường tròn (O; R). Vậy, đáp án đúng là: B. Điểm M nằm trên đường tròn. Bài 2: Để xác định vị trí của điểm M so với đường tròn (O; R), ta cần xem xét mối quan hệ giữa khoảng cách từ điểm M đến tâm O và bán kính R của đường tròn. 1. Điểm M nằm ngoài đường tròn: Điều này xảy ra khi khoảng cách từ M đến O lớn hơn bán kính R, tức là \(OM > R\). 2. Điểm M nằm trên đường tròn: Điều này xảy ra khi khoảng cách từ M đến O bằng bán kính R, tức là \(OM = R\). 3. Điểm M nằm trong đường tròn: Điều này xảy ra khi khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn bán kính R, tức là \(OM < R\). 4. Điểm M thuộc đường tròn: Đây là cách diễn đạt khác của việc điểm M nằm trên đường tròn, tức là \(OM = R\). Theo đề bài, ta có \(OM < R\). Điều này phù hợp với trường hợp thứ 3, tức là điểm M nằm trong đường tròn. Vậy, đáp án đúng là: C. Điểm M nằm trong đường tròn. Bài 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét từng khẳng định và xác định xem khẳng định nào là đúng dựa trên các thông tin đã cho. Cho đường tròn \((O; 3~cm)\) và hai điểm \(A, B\) sao cho \(OA = OB = 3~cm\). 1. Khẳng định A: Điểm A nằm trong \((O)\), điểm B nằm trên \((O)\). - Đường tròn \((O; 3~cm)\) có bán kính là \(3~cm\). - Điểm A có khoảng cách đến tâm O là \(OA = 3~cm\), do đó điểm A nằm trên đường tròn \((O)\). - Tương tự, điểm B có khoảng cách đến tâm O là \(OB = 3~cm\), do đó điểm B cũng nằm trên đường tròn \((O)\). - Khẳng định A sai vì cả hai điểm A và B đều nằm trên đường tròn, không có điểm nào nằm trong. 2. Khẳng định B: Điểm A và B đối xứng nhau qua tâm O. - Để hai điểm A và B đối xứng nhau qua tâm O, cần có \(OA = OB\) và đường thẳng AB phải đi qua O. - Mặc dù \(OA = OB = 3~cm\), nhưng không có thông tin nào cho thấy đường thẳng AB đi qua O. - Khẳng định B không thể xác định là đúng chỉ dựa vào thông tin đã cho. 3. Khẳng định C: \(AB = 3~cm\) là đường kính của đường tròn. - Đường kính của đường tròn là đoạn thẳng đi qua tâm O và có độ dài gấp đôi bán kính, tức là \(6~cm\). - Vì \(AB = 3~cm\) không thể là đường kính của đường tròn có bán kính \(3~cm\). - Khẳng định C sai. 4. Khẳng định D: Điểm A và B đều nằm trên \((O)\). - Như đã phân tích ở khẳng định A, cả hai điểm A và B đều có khoảng cách đến tâm O bằng bán kính của đường tròn, tức là \(3~cm\). - Do đó, cả hai điểm A và B đều nằm trên đường tròn \((O)\). - Khẳng định D đúng. Kết luận: Khẳng định đúng là D. Điểm A và B đều nằm trên \((O)\). Bài 4: Để xác định vị trí tương đối của điểm \( A(4\sqrt{2}; 7) \) so với đường tròn tâm \( O(0; 0) \) bán kính \( 9 \) cm, ta cần tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến tâm \( O \) và so sánh với bán kính của đường tròn. 1. Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến tâm \( O \): Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( O(x_2, y_2) \) là: \[ d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \] Thay tọa độ của \( A \) và \( O \) vào công thức: \[ d = \sqrt{(4\sqrt{2} - 0)^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 7^2} \] Tính toán: \[ (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \] \[ 7^2 = 49 \] \[ d = \sqrt{32 + 49} = \sqrt{81} = 9 \] 2. So sánh với bán kính của đường tròn: Bán kính của đường tròn là \( 9 \) cm. Khoảng cách từ \( A \) đến \( O \) cũng là \( 9 \) cm. 3. Kết luận: Vì khoảng cách từ điểm \( A \) đến tâm \( O \) bằng bán kính của đường tròn, nên điểm \( A \) nằm trên đường tròn. Vậy, đáp án đúng là: B. Điểm A nằm trên đường tròn. Bài 5: Để tìm khẳng định sai, chúng ta cần xem xét từng khẳng định một cách chi tiết: A. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. - Khẳng định này đúng. Tâm của đường tròn là điểm mà mọi điểm trên đường tròn đều cách đều, do đó nó là tâm đối xứng của đường tròn. B. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó. - Khẳng định này đúng. Đường kính là đoạn thẳng đi qua tâm và có hai đầu mút nằm trên đường tròn, do đó nó chia đường tròn thành hai phần bằng nhau và là trục đối xứng. C. Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta nói đường tròn (O) đi qua điểm A. - Khẳng định này đúng. Nếu A nằm trên đường tròn (O), điều đó có nghĩa là khoảng cách từ A đến O bằng bán kính của đường tròn, do đó đường tròn đi qua điểm A. D. Hai điểm M và M' gọi là đối xứng nhau qua điểm I nếu I nằm giữa đoạn thẳng MM'. - Khẳng định này sai. Hai điểm M và M' đối xứng nhau qua điểm I khi và chỉ khi I là trung điểm của đoạn thẳng MM', tức là I chia đoạn thẳng MM' thành hai đoạn bằng nhau. Việc I chỉ nằm giữa đoạn thẳng MM' không đảm bảo rằng I là trung điểm. Vậy, khẳng định sai là D. Bài 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các tính chất của tam giác cân và các khái niệm về đối xứng. 1. Tam giác cân tại A: Điều này có nghĩa là \(AB = AC\). 2. H là trung điểm của BC: Điều này có nghĩa là \(BH = HC\). Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét từng khẳng định: A. B và C đối xứng với nhau qua điểm A: Điều này không đúng vì nếu B và C đối xứng với nhau qua điểm A, thì A phải là trung điểm của BC, điều này không đúng vì H mới là trung điểm của BC. B. B và C đối xứng với nhau qua đường thẳng AH: Điều này đúng. Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh cân (A) cũng là đường trung tuyến và đường phân giác. Do đó, đường thẳng AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nghĩa là B và C đối xứng với nhau qua đường thẳng AH. C. A và B đối xứng với nhau qua điểm H: Điều này không đúng vì H là trung điểm của BC, không phải là trung điểm của đoạn thẳng nối A và B. D. H là tâm của đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B, C: Điều này không đúng. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC không nhất thiết phải là trung điểm của BC. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cân tại A sẽ nằm trên đường trung trực của BC, nhưng không nhất thiết phải là H. Kết luận: Khẳng định đúng là B. B và C đối xứng với nhau qua đường thẳng AH. Bài 7: Để xác định tâm đối xứng của đường tròn, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm đối xứng trong hình học. 1. Khái niệm đối xứng của đường tròn: - Đường tròn là một hình có tính chất đối xứng hoàn hảo. Mọi điểm trên đường tròn đều cách đều một điểm cố định, gọi là tâm của đường tròn. - Tâm của đường tròn là điểm mà mọi điểm trên đường tròn đều đối xứng qua nó. 2. Lập luận cho từng lựa chọn: - A. Điểm bất kì trong đường tròn: Một điểm bất kì trong đường tròn không phải là tâm của đường tròn, do đó không thể là tâm đối xứng. Chỉ có duy nhất một điểm trong đường tròn là tâm đối xứng, đó là tâm của đường tròn. - B. Điểm bất kì bên ngoài đường tròn: Điểm bên ngoài đường tròn không thể là tâm đối xứng vì không có tính chất đối xứng với các điểm trên đường tròn. - C. Điểm bất kì trên đường tròn: Điểm trên đường tròn không thể là tâm đối xứng vì nó không nằm ở vị trí trung tâm để có thể đối xứng với các điểm khác trên đường tròn. - D. Tâm của đường tròn: Tâm của đường tròn là điểm duy nhất mà mọi điểm trên đường tròn đều đối xứng qua nó. Đây chính là tâm đối xứng của đường tròn. 3. Kết luận: - Tâm đối xứng của đường tròn là D. Tâm của đường tròn. Bài 8: Để tính đường kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác vuông ABC, ta cần nhớ rằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính là cạnh huyền của tam giác đó. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên cạnh huyền BC có thể được tính bằng định lý Pythagore: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \, \text{cm}. \] Vậy đường kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC là 25 cm. Do đó, đáp án đúng là C. 25 cm.