Câu $\rm 2.$

Câu 2: Để dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng, ta cần có $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \geq 1$. Ta sẽ kiểm tra điều này bằng cách so sánh $u_{n+1}$ và $u_n$. Trước tiên, ta viết lại $u_n$ và $u_{n+1}$: \[ u_n = \frac{mn + 1}{n + 1} \] \[ u_{n+1} = \frac{m(n+1) + 1}{(n+1) + 1} = \frac{mn + m + 1}{n + 2} \] Yêu cầu $u_{n+1} > u_n$ tức là: \[ \frac{mn + m + 1}{n + 2} > \frac{mn + 1}{n + 1} \] Nhân chéo để loại bỏ mẫu số: \[ (mn + m + 1)(n + 1) > (mn + 1)(n + 2) \] Phân phối và đơn giản hóa: \[ mn^2 + mn + n + mn + m + 1 > mn^2 + 2mn + n + 2 \] \[ mn^2 + 2mn + n + m + 1 > mn^2 + 2mn + n + 2 \] Bỏ các hạng tử giống nhau từ cả hai vế: \[ m + 1 > 2 \] \[ m > 1 \] Do đó, để dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng, $m$ phải lớn hơn 1. Các giá trị nguyên của $m$ trong đoạn $[-20; 20]$ thỏa mãn điều kiện này là: \[ m = 2, 3, 4, \ldots, 20 \] Số lượng các giá trị nguyên của $m$ là: \[ 20 - 2 + 1 = 19 \] Vậy có 19 giá trị nguyên của $m$ trong đoạn $[-20; 20]$ để dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.