Cho △ABC nhọn, các đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G. Trên đường BN lấy điểm E sao cho N là trung điểm của EG. a) Chứng minh △AGCE là hình bình hành. b) Trên đường AM lấy điểm F sao cho AG = GF....

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một theo yêu cầu của đề bài. a) Chứng minh △AGCE là hình bình hành. - Ta có N là trung điểm của EG, do đó EN = NG. - G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AM = 2MG và AG = 2GM. - Do đó, AG song song và bằng với CE (vì EN = NG và AG = 2GM = 2EN = CE). - Tương tự, ta có AE song song và bằng với CG (vì AE = 2EN = 2NG = CG). - Vậy, tứ giác AGCE có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AGCE là hình bình hành. b) Trên đường AM lấy điểm F sao cho AG = GF. Ghi nhận: MG = MF. - Vì F nằm trên AM và AG = GF, nên G là trung điểm của AF. - Do đó, MG = MF vì G là trung điểm của AF và M là trung điểm của AG. c) Chứng minh △BGCF là hình bình hành. - Ta đã có AG = GF từ điều kiện của bài toán. - Từ phần a), ta có AG song song và bằng với CE. - Do đó, GF song song và bằng với CE. - Từ đó, ta có BG song song và bằng với CF (vì BG = GC và GF = CE). - Vậy, tứ giác BGCF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên BGCF là hình bình hành. d) Chứng minh △ABFE là hình bình hành. - Ta đã có AG = GF và AE = CG từ phần a). - Vì AG song song và bằng với CE, nên AE song song và bằng với BF. - Do đó, AB song song và bằng với EF (vì AB = AE + EB và EF = BF + FE). - Vậy, tứ giác ABFE có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ABFE là hình bình hành. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán theo yêu cầu.