Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, M là trung điểm AB. DM cắt AO tại N. Kẻ đường thẳng qua N vuông góc với AB tại P, vuông góc với CD tại E. a) Chứng minh tam giác END và PBN bằng nh...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tam giác \( \triangle END \) và \( \triangle PBN \) bằng nhau. - Xét tam giác \( \triangle END \) và \( \triangle PBN \): - Ta có \( \angle END = \angle PBN = 90^\circ \) (do \( NE \perp CD \) và \( NP \perp AB \)). - \( \angle NDE = \angle NBP \) (vì \( ND \) và \( NB \) là các đường chéo của hình vuông, nên chúng bằng nhau). - \( ND = NB \) (vì \( N \) là giao điểm của các đường chéo của hình vuông, nên \( ND = NB \)). Do đó, theo trường hợp góc - góc - cạnh (G-G-C), ta có \( \triangle END \equiv \triangle PBN \). b) Chứng minh \( CM \perp BN \). - Ta có \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AM = MB \). - \( O \) là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông, nên \( AO = CO \) và \( BO = DO \). - Xét tam giác \( \triangle AMO \) và \( \triangle BMO \): - \( AM = MB \) (do \( M \) là trung điểm của \( AB \)). - \( AO = BO \) (do \( O \) là trung điểm của \( AB \)). - \( \angle AMO = \angle BMO = 90^\circ \) (do \( AO \) và \( BO \) là các đường chéo của hình vuông). Do đó, \( \triangle AMO \equiv \triangle BMO \) theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (C-G-C), suy ra \( \angle AMB = 90^\circ \). Vì \( \angle AMB = 90^\circ \), nên \( CM \perp BN \). c) Chứng minh \( DEQP \) là hình bình hành. - Ta có \( DE \parallel PQ \) và \( DE = PQ \) (do \( DE \) và \( PQ \) đều vuông góc với \( CD \) và \( AB \) tương ứng). - \( EQ \parallel DP \) (do \( EQ \) và \( DP \) đều vuông góc với \( AB \) và \( CD \) tương ứng). Vì \( DE \parallel PQ \) và \( EQ \parallel DP \), nên tứ giác \( DEQP \) là hình bình hành. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.