Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M, N lần lượt là trung điểm của OD và OB. E là giao điểm của AM và CD, F là giao điểm của CN và AB. Chứng minh: a) Tứ giác AMCN là hình bình hành...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán. a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành: - Ta có M là trung điểm của OD và N là trung điểm của OB. - Do O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD, nên O cũng là trung điểm của AC và BD. - Vì M là trung điểm của OD và N là trung điểm của OB, nên MN là đường trung bình của tam giác OBD. - Do đó, MN song song với BD và MN = $\frac{1}{2}$ BD. - Tương tự, AM là đường trung bình của tam giác AOD, nên AM song song với OD và AM = $\frac{1}{2}$ OD. - Vì OD song song với AC (do O là trung điểm của AC), nên AM song song với AC. - Từ đó, ta có AM song song với CN và MN song song với AC. - Vậy, tứ giác AMCN có hai cặp cạnh đối song song, nên AMCN là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành: - Ta đã có AM song song với CN từ phần a). - Do E là giao điểm của AM và CD, F là giao điểm của CN và AB, nên AE song song với CF. - Tương tự, vì AM song song với CN, nên AC song song với EF. - Vậy, tứ giác AECF có hai cặp cạnh đối song song, nên AECF là hình bình hành. c) Chứng minh O là trung điểm của EF: - Từ phần b), ta đã chứng minh AECF là hình bình hành, do đó AC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. - Vì O là trung điểm của AC (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD), nên O cũng là trung điểm của EF. d) Chứng minh DE = $\frac{1}{2}$ EC: - Ta đã biết M là trung điểm của OD, do đó OM = MD. - Vì E là giao điểm của AM và CD, nên AM chia CD thành hai đoạn bằng nhau. - Do đó, DE = $\frac{1}{2}$ DC. - Vì O là trung điểm của AC, nên OC = $\frac{1}{2}$ AC. - Từ đó, ta có DE = $\frac{1}{2}$ EC. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.