Giải chi tiết cho mình câu a b c d bài 9 với ạ

Bài 1: a) Điều kiện xác định: \[ \cos x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq -1 \Leftrightarrow x \neq \pi + k2\pi,~k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \pi + k2\pi,~k \in \mathbb{Z} \right\} \] b) Điều kiện xác định: \[ 1 - \sin^2 x \neq 0 \Leftrightarrow \sin^2 x \neq 1 \Leftrightarrow \sin x \neq \pm 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb{Z} \right\} \] c) Điều kiện xác định: \[ 1 + \sin x > 0 \Leftrightarrow \sin x > -1 \Leftrightarrow x \neq -\frac{\pi}{2} + k2\pi,~k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{\pi}{2} + k2\pi,~k \in \mathbb{Z} \right\} \] d) Điều kiện xác định: \[ \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{-1 - \sin x}{\sin x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\sin x + 1}{\sin x - 1} \leq 0 \] \[ \Leftrightarrow \sin x + 1 \leq 0 \text{ hoặc } \sin x - 1 \geq 0 \] \[ \Leftrightarrow \sin x \leq -1 \text{ hoặc } \sin x \geq 1 \] \[ \Leftrightarrow \sin x = -1 \text{ hoặc } \sin x = 1 \] \[ \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,~k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \left\{ -\frac{\pi}{2} + k2\pi,~\frac{\pi}{2} + k2\pi,~k \in \mathbb{Z} \right\} \] e) Điều kiện xác định: \[ 1 + \cos 2x \geq 0 \Leftrightarrow \cos 2x \geq -1 \] Do tính chất của hàm cosin, ta có: \[ \cos 2x \geq -1 \text{ luôn đúng } \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] g) Điều kiện xác định: \[ \frac{1 - \cos x}{1 + \sin x} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\cos x - 1}{\sin x + 1} \leq 0 \] \[ \Leftrightarrow \cos x - 1 \leq 0 \text{ hoặc } \sin x + 1 \geq 0 \] \[ \Leftrightarrow \cos x \leq 1 \text{ hoặc } \sin x \geq -1 \] Do tính chất của hàm cosin và sin, ta có: \[ \cos x \leq 1 \text{ luôn đúng } \] \[ \sin x \geq -1 \text{ luôn đúng } \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \] h) Điều kiện xác định: \[ \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb{Z} \right\} \] i) Điều kiện xác định: \[ \tan x \text{ xác định } \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb{Z} \] \[ 1 + \cot^2 x \neq 0 \Leftrightarrow \cot^2 x \neq -1 \text{ (luôn đúng)} \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,~k \in \mathbb{Z} \right\} \] Bài 2: Câu a: \( y = 2 + 3 \sin x \) Ta biết rằng \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Nhân cả hai vế với 3: \[ -3 \leq 3 \sin x \leq 3 \] Cộng thêm 2 vào mỗi vế: \[ -3 + 2 \leq 2 + 3 \sin x \leq 3 + 2 \] \[ -1 \leq y \leq 5 \] Vậy tập giá trị của hàm số là \([-1, 5]\). Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \(\sin x = 1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi \(\sin x = -1\) hoặc \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\). Câu b: \( y = \frac{1 + 4 \cos^2 x}{5} \) Ta biết rằng \(0 \leq \cos^2 x \leq 1\). Nhân cả hai vế với 4: \[ 0 \leq 4 \cos^2 x \leq 4 \] Cộng thêm 1 vào mỗi vế: \[ 1 \leq 1 + 4 \cos^2 x \leq 5 \] Chia cả hai vế cho 5: \[ \frac{1}{5} \leq \frac{1 + 4 \cos^2 x}{5} \leq 1 \] \[ \frac{1}{5} \leq y \leq 1 \] Vậy tập giá trị của hàm số là \([\frac{1}{5}, 1]\). Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\cos^2 x = 1\) hoặc \(x = k\pi\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{5}\), đạt được khi \(\cos^2 x = 0\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Câu c: \( y = 2 - 4 \sin^2 x \cos^2 x \) Ta biết rằng \(0 \leq \sin^2 x \leq 1\) và \(0 \leq \cos^2 x \leq 1\). Do đó: \[ 0 \leq \sin^2 x \cos^2 x \leq 1 \] Nhân cả hai vế với -4: \[ 0 \geq -4 \sin^2 x \cos^2 x \geq -4 \] Cộng thêm 2 vào mỗi vế: \[ 2 \geq 2 - 4 \sin^2 x \cos^2 x \geq -2 \] \[ -2 \leq y \leq 2 \] Vậy tập giá trị của hàm số là \([-2, 2]\). Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \(\sin^2 x \cos^2 x = 0\) hoặc \(x = k\pi\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \(\sin^2 x \cos^2 x = 1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\). Câu d: \( y = 2 \sin^2 x - \cos 2x \) Ta biết rằng \(-1 \leq \sin x \leq 1\) và \(-1 \leq \cos 2x \leq 1\). Do đó: \[ 0 \leq \sin^2 x \leq 1 \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 0 \leq 2 \sin^2 x \leq 2 \] Cộng thêm \(-\cos 2x\) vào mỗi vế: \[ -1 \leq 2 \sin^2 x - \cos 2x \leq 3 \] \[ -1 \leq y \leq 3 \] Vậy tập giá trị của hàm số là \([-1, 3]\). Giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin^2 x = 1\) và \(\cos 2x = -1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được khi \(\sin^2 x = 0\) và \(\cos 2x = 1\) hoặc \(x = k\pi\). Bài 3: a) Xét hàm số \( y = x \sin 3x \). - Ta có \( f(-x) = (-x) \sin(-3x) = (-x)(-\sin 3x) = x \sin 3x = f(x) \). - Vậy hàm số \( y = x \sin 3x \) là hàm số chẵn. b) Xét hàm số \( y = \frac{1 + \cos 3x}{1 - \cos 3x} \). - Ta có \( f(-x) = \frac{1 + \cos(-3x)}{1 - \cos(-3x)} = \frac{1 + \cos 3x}{1 - \cos 3x} = f(x) \). - Vậy hàm số \( y = \frac{1 + \cos 3x}{1 - \cos 3x} \) là hàm số chẵn. c) Xét hàm số \( y = x^3 \cos 2x \). - Ta có \( f(-x) = (-x)^3 \cos(-2x) = -x^3 \cos 2x = -f(x) \). - Vậy hàm số \( y = x^3 \cos 2x \) là hàm số lẻ. d) Xét hàm số \( y = \sin x - \cos x \). - Ta có \( f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x) = -\sin x - \cos x \neq f(x) \) và \( f(-x) \neq -f(x) \). - Vậy hàm số \( y = \sin x - \cos x \) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. Bài 4: a) Xét hàm số \( y = \sin 3x \). Hàm số \( y = \sin 3x \) là hàm lượng giác cơ bản, trong đó \( \sin \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \). Do đó, \( \sin 3x \) cũng là hàm tuần hoàn. Để tìm chu kỳ của \( \sin 3x \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất \( T \) sao cho: \[ \sin 3(x + T) = \sin 3x \] Ta có: \[ \sin 3(x + T) = \sin (3x + 3T) \] Để \( \sin (3x + 3T) = \sin 3x \), ta cần: \[ 3T = 2\pi k \] với \( k \) là số nguyên. Giá trị nhỏ nhất của \( T \) xảy ra khi \( k = 1 \): \[ 3T = 2\pi \] \[ T = \frac{2\pi}{3} \] Vậy hàm số \( y = \sin 3x \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \( \frac{2\pi}{3} \). b) Xét hàm số \( y = x^2 \). Hàm số \( y = x^2 \) là hàm đa thức bậc hai. Hàm đa thức bậc hai không có tính chất tuần hoàn vì giá trị của nó thay đổi liên tục theo \( x \) và không lặp lại sau một khoảng thời gian cố định. Vậy hàm số \( y = x^2 \) không phải là hàm tuần hoàn. Kết luận: - Hàm số \( y = \sin 3x \) là hàm tuần hoàn với chu kỳ \( \frac{2\pi}{3} \). - Hàm số \( y = x^2 \) không phải là hàm tuần hoàn. Bài 5: Phần a) Xét sự biến thiên của hàm số \( y = \sin x \) trên các khoảng \((- \frac{9\pi}{2}; -\frac{7\pi}{2})\) và \((\frac{21\pi}{2}; \frac{23\pi}{2})\). - Trên khoảng \((- \frac{9\pi}{2}; -\frac{7\pi}{2})\): Hàm số \( y = \sin x \) đồng biến vì trong khoảng này, đạo hàm \( y' = \cos x > 0 \). - Trên khoảng \((\frac{21\pi}{2}; \frac{23\pi}{2})\): Hàm số \( y = \sin x \) nghịch biến vì trong khoảng này, đạo hàm \( y' = \cos x < 0 \). Phần b) Xét sự biến thiên của hàm số \( y = \cos x \) trên các khoảng \((-20\pi; -19\pi)\) và \((-9\pi; -8\pi)\). - Trên khoảng \((-20\pi; -19\pi)\): Hàm số \( y = \cos x \) nghịch biến vì trong khoảng này, đạo hàm \( y' = -\sin x < 0 \). - Trên khoảng \((-9\pi; -8\pi)\): Hàm số \( y = \cos x \) đồng biến vì trong khoảng này, đạo hàm \( y' = -\sin x > 0 \). Bài 6: a) Xét hàm số \( y = \sin x \cdot \cos x \). Ta có: \[ f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = -\sin x \cdot \cos x = -f(x). \] Vậy hàm số \( y = \sin x \cdot \cos x \) là hàm số lẻ. b) Xét hàm số \( y = \tan x + \cot x \). Ta có: \[ f(-x) = \tan(-x) + \cot(-x) = -\tan x - \cot x = -(\tan x + \cot x) = -f(x). \] Vậy hàm số \( y = \tan x + \cot x \) là hàm số lẻ. c) Xét hàm số \( y = \sin^2 x \). Ta có: \[ f(-x) = \sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x = f(x). \] Vậy hàm số \( y = \sin^2 x \) là hàm số chẵn. d) Xét hàm số \( y = \cos 2x \). Ta có: \[ f(-x) = \cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos 2x = f(x). \] Vậy hàm số \( y = \cos 2x \) là hàm số chẵn. e) Xét hàm số \( y = \sin^3 x \). Ta có: \[ f(-x) = \sin^3(-x) = (\sin(-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3 x = -f(x). \] Vậy hàm số \( y = \sin^3 x \) là hàm số lẻ. f) Xét hàm số \( y = \tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \). Ta có: \[ f(-x) = \tan\left(-x + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot x. \] \[ -f(x) = -\tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\cot(-x) = \cot x. \] Vậy hàm số \( y = \tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \) là hàm số lẻ. g) Xét hàm số \( y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \). Ta có: \[ f(-x) = \cos\left(-x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right). \] \[ f(x) = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right). \] Do đó, \( f(-x) \neq f(x) \) và \( f(-x) \neq -f(x) \). Vậy hàm số \( y = \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \) không chẵn, không lẻ. h) Xét hàm số \( y = \frac{\cos 2x}{x^3} \). Ta có: \[ f(-x) = \frac{\cos 2(-x)}{(-x)^3} = \frac{\cos 2x}{-x^3} = -\frac{\cos 2x}{x^3} = -f(x). \] Vậy hàm số \( y = \frac{\cos 2x}{x^3} \) là hàm số lẻ. i) Xét hàm số \( y = x - \sin 3x \). Ta có: \[ f(-x) = -x - \sin 3(-x) = -x - (-\sin 3x) = -x + \sin 3x. \] \[ -f(x) = -(x - \sin 3x) = -x + \sin 3x. \] Do đó, \( f(-x) \neq f(x) \) và \( f(-x) \neq -f(x) \). Vậy hàm số \( y = x - \sin 3x \) không chẵn, không lẻ. k) Xét hàm số \( y = \sqrt{1 + \cos x} \). Ta có: \[ f(-x) = \sqrt{1 + \cos(-x)} = \sqrt{1 + \cos x} = f(x). \] Vậy hàm số \( y = \sqrt{1 + \cos x} \) là hàm số chẵn. Bài 7: a) Điều kiện xác định: \[ 1 + \sin3x \geq 0 \] \[ \sin3x \geq -1 \] Do tính chất của hàm sin, ta biết rằng \(\sin3x\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Vì vậy, bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi \(x\). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{1 + \sin3x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \] b) Điều kiện xác định: \[ 1 - \cos x > 0 \] \[ \cos x < 1 \] Do tính chất của hàm cos, ta biết rằng \(\cos x\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Vì vậy, bất đẳng thức trên luôn đúng ngoại trừ khi \(\cos x = 1\), tức là \(x = 2k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{\sin2x}{\sqrt{1 - \cos x}} \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \] c) Điều kiện xác định: \[ 1 + \cos2x \geq 0 \] \[ \cos2x \geq -1 \] Do tính chất của hàm cos, ta biết rằng \(\cos2x\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Vì vậy, bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi \(x\). Ngoài ra, điều kiện xác định còn yêu cầu: \[ \sin x \neq 0 \] \[ x \neq k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{\sqrt{1 + \cos2x}}{\sin x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \] d) Điều kiện xác định: \[ \sin x + \cos x \neq 0 \] \[ \sin x \neq -\cos x \] \[ \tan x \neq -1 \] \[ x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{1}{\sin x + \cos x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \] e) Điều kiện xác định: \[ \cot3x \] xác định khi \(3x \neq k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\) \[ x \neq \frac{k\pi}{3} \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \cot3x \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \] f) Điều kiện xác định: \[ 1 - \cos4x \geq 0 \] \[ \cos4x \leq 1 \] Do tính chất của hàm cos, ta biết rằng \(\cos4x\) luôn nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Vì vậy, bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi \(x\). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{1 - \cos4x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \] g) Điều kiện xác định: \[ \sin^2x - \cos^2x \neq 0 \] \[ \sin^2x \neq \cos^2x \] \[ \sin x \neq \pm \cos x \] \[ \tan x \neq \pm 1 \] \[ x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \text{ và } x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{\cos2x}{\sin^2x - \cos^2x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\pi, -\frac{\pi}{4} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \] h) Điều kiện xác định: \[ \sin3x \neq 0 \] \[ 3x \neq k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] \[ x \neq \frac{k\pi}{3} \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = -\frac{2}{\sin3x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \] i) Điều kiện xác định: \[ \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \] xác định khi \(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\) \[ \frac{x}{2} \neq \frac{2\pi}{3} + k\pi \] \[ x \neq \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \tan\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{4\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \] k) Điều kiện xác định: \[ \cot\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \] xác định khi \(2x - \frac{\pi}{4} \neq k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\) \[ 2x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi \] \[ x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \text{ với } k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \cot\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \] l) Điều kiện xác định: \[ 3 - \cos^2x \neq 0 \] \[ \cos^2x \neq 3 \] Do tính chất của hàm cos, ta biết rằng \(\cos^2x\) luôn nằm trong khoảng \([0, 1]\). Vì vậy, bất đẳng thức trên luôn đúng với mọi \(x\). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{1}{3 - \cos^2x} \) là: \[ D = \mathbb{R} \] Bài 8: a) Xét hàm số \( y = \sin 2x \). - Ta có \( f(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x) \). - Vậy hàm số \( y = \sin 2x \) là hàm số lẻ. b) Xét hàm số \( y = |\sin x| \). - Ta có \( f(-x) = |\sin(-x)| = |\sin x| = f(x) \). - Vậy hàm số \( y = |\sin x| \) là hàm số chẵn. c) Xét hàm số \( y = \tan^2 x \). - Ta có \( f(-x) = \tan^2(-x) = (\tan(-x))^2 = (-\tan x)^2 = \tan^2 x = f(x) \). - Vậy hàm số \( y = \tan^2 x \) là hàm số chẵn. d) Xét hàm số \( y = \sqrt{1 - \cos x} \). - Ta có \( f(-x) = \sqrt{1 - \cos(-x)} = \sqrt{1 - \cos x} = f(x) \). - Vậy hàm số \( y = \sqrt{1 - \cos x} \) là hàm số chẵn. e) Xét hàm số \( y = \tan x + \cot x \). - Ta có \( f(-x) = \tan(-x) + \cot(-x) = -\tan x - \cot x = -(\tan x + \cot x) = -f(x) \). - Vậy hàm số \( y = \tan x + \cot x \) là hàm số lẻ. g) Xét hàm số \( y = \sin x \cdot \cos 3x \). - Ta có \( f(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-3x) = -\sin x \cdot \cos 3x = -f(x) \). - Vậy hàm số \( y = \sin x \cdot \cos 3x \) là hàm số lẻ. Bài 9: a) Ta có \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Suy ra \(-3 \leq 3\sin x \leq 3\). Do đó \(2 \leq 3\sin x + 5 \leq 8\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 8, đạt được khi \(\sin x = 1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi \(\sin x = -1\) hoặc \(x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi\). b) Ta có \(-1 \leq \cos 2x \leq 1\). Suy ra \(0 \leq 1 + \cos 2x \leq 2\). Do đó \(1 \leq \sqrt{1 + \cos 2x} \leq \sqrt{2}\). Suy ra \(4 \leq \sqrt{1 + \cos 2x} + 3 \leq 3 + \sqrt{2}\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(3 + \sqrt{2}\), đạt được khi \(\cos 2x = 1\) hoặc \(x = k\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4, đạt được khi \(\cos 2x = -1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). c) Ta có \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Suy ra \(-1 \leq 2\sin x \leq 1\). Do đó \(3 \leq 4 - 2\sin x \leq 5\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \(\sin x = -1\) hoặc \(x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin x = 1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\). d) Ta có \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Suy ra \(3 \leq 4 - \sin x \leq 5\). Do đó \(\frac{1}{5} \leq \frac{1}{4 - \sin x} \leq \frac{1}{3}\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{1}{3}\), đạt được khi \(\sin x = 1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{1}{5}\), đạt được khi \(\sin x = -1\) hoặc \(x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi\). e) Ta có \(0 \leq |\cos x| \leq 1\). Suy ra \(0 \leq 3|\cos x| \leq 3\). Do đó \(2 \leq 2 + 3|\cos x| \leq 5\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \(|\cos x| = 1\) hoặc \(x = k\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi \(|\cos x| = 0\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). g) Ta có \(0 \leq \sin x \leq 1\). Suy ra \(0 \leq \sqrt{\sin x} \leq 1\). Do đó \(1 \leq 2\sqrt{\sin x} + 1 \leq 3\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi \(\sin x = 1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi \(\sin x = 0\) hoặc \(x = k\pi\). h) Ta có \(-1 \leq \cos x \leq 1\). Suy ra \(0 \leq \cos^2 x \leq 1\). Suy ra \(0 \leq 3\cos^2 x \leq 3\). Lại có \(-1 \leq \cos 2x \leq 1\). Suy ra \(-2 \leq 4\cos 2x \leq 2\). Do đó \(-2 \leq 3\cos^2 x + 4\cos 2x \leq 5\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \(\cos 2x = 1\) hoặc \(x = k\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-2\), đạt được khi \(\cos 2x = -1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). k) Ta có \(-1 \leq \sin x \leq 1\) và \(-1 \leq \cos x \leq 1\). Suy ra \(-2 \leq \sin x + \cos x \leq 2\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \(\sin x = \cos x = 1\) hoặc \(x = \frac{\pi}{4} + k2\pi\); giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-2\), đạt được khi \(\sin x = \cos x = -1\) hoặc \(x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi\). Bài 10: Để xét sự biến thiên của các hàm số \( y = \sin x \) và \( y = \cos x \) trên các khoảng đã cho, chúng ta sẽ dựa vào tính chất tuần hoàn và chu kỳ của các hàm lượng giác này. Phần a) Hàm số \( y = \sin x \) Khoảng \((- \frac{19\pi}{2}; -\frac{17\pi}{2})\): 1. Xác định chu kỳ: Hàm số \( y = \sin x \) có chu kỳ \( 2\pi \). 2. Chuyển đổi khoảng: \[ -\frac{19\pi}{2} = -9.5\pi \quad \text{và} \quad -\frac{17\pi}{2} = -8.5\pi \] Do đó, khoảng \((-9.5\pi; -8.5\pi)\) nằm trong một chu kỳ của hàm \( \sin x \). 3. Biến thiên: - Trên khoảng \((-9.5\pi; -8.5\pi)\), hàm \( \sin x \) tăng từ \( \sin(-9.5\pi) = 0 \) đến \( \sin(-8.5\pi) = 0 \). Khoảng \((- \frac{13\pi}{2}; -\frac{11\pi}{2})\): 1. Xác định chu kỳ: Hàm số \( y = \sin x \) có chu kỳ \( 2\pi \). 2. Chuyển đổi khoảng: \[ -\frac{13\pi}{2} = -6.5\pi \quad \text{và} \quad -\frac{11\pi}{2} = -5.5\pi \] Do đó, khoảng \((-6.5\pi; -5.5\pi)\) nằm trong một chu kỳ của hàm \( \sin x \). 3. Biến thiên: - Trên khoảng \((-6.5\pi; -5.5\pi)\), hàm \( \sin x \) giảm từ \( \sin(-6.5\pi) = 0 \) đến \( \sin(-5.5\pi) = 0 \). Phần b) Hàm số \( y = \cos x \) Khoảng \((19\pi; 20\pi)\): 1. Xác định chu kỳ: Hàm số \( y = \cos x \) có chu kỳ \( 2\pi \). 2. Chuyển đổi khoảng: \[ 19\pi \quad \text{và} \quad 20\pi \] Do đó, khoảng \((19\pi; 20\pi)\) nằm trong một chu kỳ của hàm \( \cos x \). 3. Biến thiên: - Trên khoảng \((19\pi; 20\pi)\), hàm \( \cos x \) giảm từ \( \cos(19\pi) = -1 \) đến \( \cos(20\pi) = 1 \). Khoảng \((-30\pi; -29\pi)\): 1. Xác định chu kỳ: Hàm số \( y = \cos x \) có chu kỳ \( 2\pi \). 2. Chuyển đổi khoảng: \[ -30\pi \quad \text{và} \quad -29\pi \] Do đó, khoảng \((-30\pi; -29\pi)\) nằm trong một chu kỳ của hàm \( \cos x \). 3. Biến thiên: - Trên khoảng \((-30\pi; -29\pi)\), hàm \( \cos x \) tăng từ \( \cos(-30\pi) = 1 \) đến \( \cos(-29\pi) = -1 \). Kết luận: - Hàm số \( y = \sin x \) tăng trên khoảng \((- \frac{19\pi}{2}; -\frac{17\pi}{2})\) và giảm trên khoảng \((- \frac{13\pi}{2}; -\frac{11\pi}{2})\). - Hàm số \( y = \cos x \) giảm trên khoảng \((19\pi; 20\pi)\) và tăng trên khoảng \((-30\pi; -29\pi)\). Bài 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) thỏa mãn các điều kiện cho trước trên các đoạn và khoảng đã cho. Phần 1: Tìm số giá trị của \( x \) trên đoạn \([-5\pi; 0]\) để \(\cos x = 1\). Hàm số \( y = \cos x \) đạt giá trị 1 khi \( x = 2k\pi \) với \( k \) là số nguyên. Chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) thuộc đoạn \([-5\pi; 0]\). - Xét \( x = 2k\pi \) thuộc \([-5\pi; 0]\), ta có: \[ -5\pi \leq 2k\pi \leq 0 \] Chia cả hai vế cho \(\pi\), ta được: \[ -5 \leq 2k \leq 0 \] Chia cả hai vế cho 2, ta có: \[ -2.5 \leq k \leq 0 \] Vì \( k \) là số nguyên, nên \( k \) có thể là \(-2, -1, 0\). Với mỗi giá trị của \( k \), ta có: - \( k = -2 \Rightarrow x = 2(-2)\pi = -4\pi \) - \( k = -1 \Rightarrow x = 2(-1)\pi = -2\pi \) - \( k = 0 \Rightarrow x = 2(0)\pi = 0 \) Vậy có 3 giá trị của \( x \) trên đoạn \([-5\pi; 0]\) để \(\cos x = 1\). Phần 2: Tìm số giá trị của \( x \) trên khoảng \((- \frac{9\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2})\) để \(\cos x = 0\). Hàm số \( y = \cos x \) đạt giá trị 0 khi \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \) là số nguyên. Chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) thuộc khoảng \((- \frac{9\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2})\). - Xét \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) thuộc \((- \frac{9\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2})\), ta có: \[ -\frac{9\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + k\pi < -\frac{3\pi}{2} \] Trừ \(\frac{\pi}{2}\) từ cả hai vế, ta được: \[ -\frac{9\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < k\pi < -\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \] \[ -5\pi < k\pi < -2\pi \] Chia cả hai vế cho \(\pi\), ta có: \[ -5 < k < -2 \] Vì \( k \) là số nguyên, nên \( k \) có thể là \(-4, -3\). Với mỗi giá trị của \( k \), ta có: - \( k = -4 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + (-4)\pi = -\frac{7\pi}{2} \) - \( k = -3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + (-3)\pi = -\frac{5\pi}{2} \) Vậy có 2 giá trị của \( x \) trên khoảng \((- \frac{9\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2})\) để \(\cos x = 0\).