Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với B ∈ (O), C ∈ (O'). Đường vuông góc với OO' kẻ từ A cắt BC ở M a, Tính MA theo R và r b, Tính diện...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Tính MA theo R và r Do hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài tại A, nên OA = R và O'A = r. Đường thẳng BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, do đó BC song song với OO'. Đường vuông góc với OO' kẻ từ A cắt BC tại M, nên AM là đường cao của tam giác vuông AOO'. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AOO', ta có: \[ AO^2 + AM^2 = OO'^2 \] Vì OO' = R + r (do hai đường tròn tiếp xúc ngoài), nên: \[ R^2 + AM^2 = (R + r)^2 \] Giải phương trình này để tìm AM: \[ AM^2 = (R + r)^2 - R^2 \] \[ AM^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 \] \[ AM^2 = 2Rr + r^2 \] \[ AM = \sqrt{2Rr + r^2} \] b. Tính diện tích tứ giác BCO'O theo R và r Tứ giác BCO'O là hình thang với hai đáy là OO' và BC. Diện tích của hình thang được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times (OO' + BC) \times h \] Trong đó, h là khoảng cách giữa hai đáy, chính là AM. Do BC song song với OO', nên BC = OO' = R + r. Vậy diện tích tứ giác BCO'O là: \[ S = \frac{1}{2} \times (R + r + R + r) \times \sqrt{2Rr + r^2} \] \[ S = (R + r) \times \sqrt{2Rr + r^2} \] c. Tính diện tích ∆BAC theo R và r Tam giác BAC là tam giác vuông tại M, với AM là đường cao từ A xuống BC. Diện tích tam giác vuông được tính bằng: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AM \] Vì BC = R + r và AM = \sqrt{2Rr + r^2}, nên: \[ S = \frac{1}{2} \times (R + r) \times \sqrt{2Rr + r^2} \] d. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IM) Gọi I là trung điểm của OO', do đó IO = IO' = \frac{R + r}{2}. Để chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IM), ta cần chứng minh rằng IM = IB = IC. Từ phần a, ta đã có AM = \sqrt{2Rr + r^2}. Vì I là trung điểm của OO', nên IM là đường trung bình của tam giác vuông AOO', do đó: \[ IM = \frac{AM}{2} = \frac{\sqrt{2Rr + r^2}}{2} \] Vì BC là tiếp tuyến chung ngoài, nên IB = IC = \frac{R + r}{2}. Do đó, IM = IB = IC, chứng tỏ BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IM). Vậy, chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán.