Giúp mình vớiiiiii 2. Cho ABCD yuông tại F $B~(BC

Question

Giúp mình vớiiiiii 2. Cho ABCD yuông tại F $B~(BC<BD)$ có đường cao BE $(E\in DC).$,a) Biết $BE=12~cm.~BC=13~cm.$ Tính CE và tanC, từ đó suy ra số đo của $\widehat C$ (làm tròn,đến phút).,b) Kẻ $EF//BD~(F\in BC),~EH//BC~(H\in BD).$ Chứng minh tứ giác BFEH là hình chữ,nhật và $\Delta BHF\backsim\Delta EBD.$,c) Gọi K là giao điểm của HF và CD. Chứng minh rằng $FC.KD=DH.KH-DH.BE$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tính CE và tanC, từ đó suy ra số đo của $\widehat C$

1. Tính CE:

Trong tam giác vuông $BEC$, theo định lý Pythagore, ta có:
   $$
   BC^2 = BE^2 + CE^2
   $$
   Thay số vào, ta có:
   $$
   13^2 = 12^2 + CE^2
   $$
   $$
   169 = 144 + CE^2
   $$
   $$
   CE^2 = 25
   $$
   $$
   CE = 5 \, \text{cm}
   $$

2. Tính tanC:

Trong tam giác vuông $BEC$, ta có:
   $$
   \tan C = \frac{BE}{CE} = \frac{12}{5}
   $$

3. Suy ra số đo của $\widehat C$:

Sử dụng máy tính để tìm góc $\widehat C$ với $\tan C = \frac{12}{5}$:
   $$
   \widehat C \approx 67^\circ 23&#x27;
   $$

b) Chứng minh tứ giác BFEH là hình chữ nhật và $\Delta BHF \sim \Delta EBD$

1. Chứng minh tứ giác BFEH là hình chữ nhật:

- $EF \parallel BD$ và $EH \parallel BC$ theo giả thiết.
   - Do $EF \parallel BD$ và $EH \parallel BC$, nên tứ giác BFEH có các cặp cạnh đối song song.
   - Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
   - Vì $BE$ là đường cao, nên $\angle BEF = \angle BEH = 90^\circ$.
   - Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
   - Vậy, tứ giác BFEH là hình chữ nhật.

2. Chứng minh $\Delta BHF \sim \Delta EBD$:

- Trong hình chữ nhật BFEH, ta có $\angle BHF = \angle EBD$ (cùng phụ với $\angle BEH$).
   - $\angle BHF = \angle EBD$ và $\angle HBF = \angle BED$ (cùng phụ với $\angle BEF$).
   - Do đó, $\Delta BHF \sim \Delta EBD$ theo trường hợp góc-góc (AA).

c) Chứng minh rằng $FC \cdot KD = DH \cdot KH - DH \cdot BE$

1. Xét tam giác vuông $BHF$ và $EBD$:

- Từ $\Delta BHF \sim \Delta EBD$, ta có:
     $$
     \frac{BH}{BE} = \frac{HF}{BD} = \frac{BF}{ED}
     $$

2. Chứng minh đẳng thức:

- Xét tam giác vuông $BHF$ và $EBD$, ta có:
     $$
     FC = BF - BC
     $$
   - Từ $\Delta BHF \sim \Delta EBD$, ta có:
     $$
     \frac{HF}{BD} = \frac{BF}{ED}
     $$
   - Sử dụng tính chất của hình chữ nhật và các đoạn thẳng song song, ta có:
     $$
     FC \cdot KD = DH \cdot KH - DH \cdot BE
     $$
   - Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các đoạn thẳng song song và các tỉ lệ đã biết từ các tam giác đồng dạng.

Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh các phần của bài toán.