Câu 7 Một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4, AD = 3, AA’ = 5. Tính góc giữa đường chéo AC’ và mặt phẳng (ABCD).

Câu 7: Để tính góc giữa đường chéo \( AC' \) và mặt phẳng \( (ABCD) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0, 0) \). - Điểm \( B \) có tọa độ \( (4, 0, 0) \) vì \( AB = 4 \). - Điểm \( D \) có tọa độ \( (0, 3, 0) \) vì \( AD = 3 \). - Điểm \( A' \) có tọa độ \( (0, 0, 5) \) vì \( AA' = 5 \). - Điểm \( C' \) có tọa độ \( (4, 3, 5) \) vì \( C' \) là điểm đối diện với \( A \) trong hình hộp chữ nhật. 2. Tính vector \( \overrightarrow{AC'} \): \[ \overrightarrow{AC'} = (4 - 0, 3 - 0, 5 - 0) = (4, 3, 5) \] 3. Tính vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (ABCD) \): Mặt phẳng \( (ABCD) \) nằm trong mặt phẳng \( z = 0 \), do đó vector pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \overrightarrow{n} = (0, 0, 1) \). 4. Tính góc giữa \( \overrightarrow{AC'} \) và mặt phẳng \( (ABCD) \): Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính thông qua góc giữa vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng. Công thức tính góc \( \theta \) giữa hai vector \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \) là: \[ \cos \theta = \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \] Áp dụng cho \( \overrightarrow{AC'} \) và \( \overrightarrow{n} \): - Tích vô hướng \( \overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{n} = 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1 = 5 \). - Độ dài của \( \overrightarrow{AC'} \) là \( \|\overrightarrow{AC'}\| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{50} \). - Độ dài của \( \overrightarrow{n} \) là \( \|\overrightarrow{n}\| = 1 \). Do đó: \[ \cos \theta = \frac{|5|}{\sqrt{50} \cdot 1} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Suy ra \( \theta = 45^\circ \). Vậy, góc giữa đường chéo \( AC' \) và mặt phẳng \( (ABCD) \) là \( 45^\circ \).